竞赛中的数论问题的思索方法一. 条件的增设对于一道数论命题，我们往往要首先解除字母取零值或字母取相等值等“平凡〞的状况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小依次、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。
1. 大小依次条件及实数范围不同，假设整数x ，y 有大小依次x <y ，那么必有y ≥1，也可以写成，其中整数t ≥1。
例1. 〔22〕设m ，n 是不大于1981的自然数，1)(222=--m nm n ，试求22n m +的最大值。
解：易知当时,222=+n m 不是最大值。
于是不访设n >m ,而令1，n >u 1≥1，得-2(m -1mu 1)(22112=--u mu m 。
同理，又可令 u 1+ u 2，m >u 2≥1。
如此接着下去将得1= 1，而11+-+=i i i u u u ，i ≤k 。
故n m u u u u k k ,,,,,,121 +是不大于1981的裴波那契数，故987，1597。
例 2. 〔匈牙利—1965〕怎样的整数a ，b ，c 满意不等式?233222c b ab c b a ++<+++解：假设干脆移项配方，得01)1()12(3)2(222<--+-+-c b b a 。
因为所求的都是整数，所以原不等式可以改写为：c b ab c b a 234222++≤+++，变形为：0)1()12(3)2(222≤-+-+-c b b a ，从而只有1，2，1。
2. 整除性条件对于整数x ，y 而言，我们可以讨论其整除关系：假设，那么可令；假设x ∤y ，那么可令，0<r ≤1。
这里字母t ，r 都是整数。
进一步，假设a q |，b q |且a b >，那么q a b +≥。
结合高斯函数，设n 除以k ，余数为r ，那么有r k k n n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=。
还可以运用抽屉原理，为同余增设一些条件。
整除性及大小依次结合，就可有更多的特性。
例3. 试证两相继自然数的平方之间不存在自然数a <b <c <d ，使得. 解：在假定了22)1(+<<<<<n d c b a n 之后，可设1),(,===q p qp b d a c 。
〔明显p >q 〕由p ，q 的互素性易知必有，。
这样，由b >a 即得q a b +≥。
〔有了三个不等式，就可对q p 的范围进展估计〕，从而q n n q a d b d q p q q q ++<+≤=<+=+22)1(111。
于是将导致冲突的结果：0)(2<-q n 。
这里，因为a ，b 被q 整除，我们由b >a 得到的不仅是b ≥1，而是更强的条件b ≥。
例4. 〔25〕设奇数a ，b ，c ，d 满意0<a <b <c <d ，，假设m k c b d a 2,2=+=+，这里k ，m 是整数，试证1。
解：不难证明k ，m 的大小关系k >m 。
[22)(4)(a d ad d a -+=+22)()(4)(4c b b c bc a d bc +=-+>-+=22)()(c b b c +=-+。
所以m k 22>。
]b c a d m k -=-=2,2，代入中，有 )2()2(b b a a m k -=-〔1〕，由〔1〕可得2222a b a b k m -=•-•。
即2222a b a b k m -=-，))(()2(2a b a b a b m k m -+=-- 〔2〕a ，b 都是奇数，所以，都是偶数，又a b a b a 2)()(=-++是奇数的2倍，故，中必有一个不是4的倍数。
由〔2〕必有⎩⎨⎧=-=+-f a b e a b m 221或⎩⎨⎧=+=--fa b e a b m 221。
其中，e ，f为正整数，且m k a b ef -⋅-=2是奇数。
[ef b a b a m 2)()(=-++，及〔2〕比较可得]由于k >m ，故a b a b ef 22=-<-≤f a b a 22=-<。
从而1，m k a b f -⋅-=2。
考虑前一状况，有⎩⎨⎧⋅-==-=+--)2(2221m k m a b f a b a b 由第二式可得 a a b m k -+=+12，故 a m k m -+-=1122，所以奇数1。
对于后一状况，可作类似的讨论。
明显，上述解题思路中有两个技巧：一是用放缩法证明k <m ；第二个是〔2〕式的分解，然后运用整除的条件。
例5. 设)(n r 为n 分别除以1，2，┅，n 所得的余数之和。
证明存在无穷多个正整数n ，使得)1()(-=n r n r 。
解：把n 除以k 的余数记为k r ，那么有k k n n r k⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=。
故可得)(n r r 的表达式∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n k n k n k k k k n n k k n n r n r 1211)()( ∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n k n k k k k n n k k n n r 121)(。
由此易得∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-1121)1()1(n k k k n n n r 。
那么∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--11)1()1()1()(n k k k n k n n n r n r ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11)1()1()1n k k k n k n n ，因此，)1()(-=n r n r 等价于∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-11)1()1(n k k k n k n n 。
留意到⎩⎨⎧/=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡n k n k k n k n |,0|,11 ⎩⎨⎧/=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤n k n k k n |,0|,11，因此题中的条件等价于n 的全部真因子之和等于1。
明显，取l n 2=(l 为正整数)，那么n 的全部真因子之和为1，而这样的n 有无穷多个。
例 6. 试证对于任给的m 个整数m a a a ,,,21 ，必有)1(,m j s j s ≤<≤，使得)(|1j s s a a a m ++++ 解：令i i a a a b +++= 21〔m i ,,2,1 =〕。
假设m b b b ,,,21 中有一个数被m 整除，那么结论成立。
否那么，各i b 均不能被m 整除，此时可设)11(-≤≤+=m r r mq b i i i i 。
这样，m 个余数m r r r ,,,21 只能从1至1这1个数中取值，由抽屉原理知，必有)1(,m j k j k ≤<≤，使得j k r r =，于是)(k j k j q q m b b -=-，故)()(|21j k k k j a a a b b m +++=-++ 取1+=k s 即得到结论。
3. 互素性的条件当〔a ，b 〕>1时，我们总是作如下考虑：令d b b d a a 11,==，那么必有1),(11=b a 。
这种互素条件的增置往往对解题有很大作用。
例7. 〔波兰64—65〕设整数a ，b 满意b b a a +=+2232，试证b a -及122++b a 都是完全平方数。
解：b b a a +=+2232变形可得：2)122)((b b a b a =++-，故只要能证一个，那么另一个必是。
我们在解除了字母取零或相等的状况后，可设d b a b a b a =≠≠),(,,0,。
这时令d b b d a a 11,==，1),(11=b a ，从而方程变为21112132db b a da =-+。
明显有)(|11b a d -。
另一方面又12121212111)(223db b a d da db b a +--=-=- 21212121211)(223db b a d da db b +--=-=，有2111|)(db b a -。
留意到1),(),(11111==-b a b b a ，于是有d b a |)(11-。
这样就有||11b a d -=。
至此已非常简洁获得命题的结论了。
这里，由a 1及b 1互素导出a 1—b 1及b 1互素，是证明d b a |)(11-的关键。
二. 从特别到一般例8. 〔18〕试求和为1978的正整数之积的最大值。
解：我们可通过削减加法运算的次数来选择特例，例如考虑求正整数,,,,21n a a a 满意10,1021≤=+++n a a a n,10,1021≤=+++n a a a n 使n a a a 21最大。
明显，最特别且最简洁的正整数是1。
例如取a 1=1，这里由n n n a a a a a a a )1(2221+<=知乘积不是最大的值。
对于某些正整数取2的状况，留意到2+2=4，2×2=4；2+2+2=6=3+3，2×2×2<3×3。
我们发觉诸中不能取多于两个2。
对于5，有2+3=5，2×3>5。
因此不如把一个5拆成2及3的和，从而使乘积变大，对于6，7等有类似的结论。
这样，我们已大致可确定诸只应取2或3，且2的个数不超过两个。
依此估计，由1978=658×3+2+2，即可揣测最大的积为658232⨯。
例9. 〔—31备选题〕设a，b是给定的正整数，现有一机器人沿着一个有n级的楼梯上下升降，每上升一次恰好上升a级，每下降一次恰好下降b 级。
为使机器人经过假设干次上升下降后，可以从地面升到楼梯顶，然后再返回地面，问n的最小值是多少？解：为了讨论解法和结论，不妨设ba≥。
我们分及a∤ba∤b。
例如，特例5，3。
这时机器人先上升一次到达第五级，为使n最小，机器人就不应再上升，而是尽量下降。
下降1次至第2级。
此时，再上升一次到第2+5=7级，然后再一降两次到第1级，又上升至1+5=6级，再下降二次至0级，从而机器人已完成了上升下降的全过程，故7。
又取特例7，4。
依上述方法可得10。
通过特例，我们可作如下揣测：假设a∤b，且〔a，b〕=1，那么1。
事实上，按照上述试验的思路，这一揣测是可以被证明的。
数论中还有很多命题是通过选取某一特别的数作为模来讨论和解决的。
这种数往往是依据命题的一些因素〔如项的系数、字母的指数、式的形态等〕，通过试用来选择和确定的，最简洁的是2，即奇偶分析法。
其次是模3，4，5，8等。
三. 讨论极端状况由于整数集具有最大〔小〕整数原理这一特性，我们往往可以从某种条件下有最大〔小〕元素动身进展讨论。