高一数学竞赛专题培训讲解
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方程理论及应用
一．一元一次同余方程
1．形式：不能整除 (1)
2．讨论的解
分析：1）
设是模m的完系，因为，所以也是模m的完系。

因此，其中必有且只有一个树与零同余，即，即（1）有解。

由（1）得：，由欧拉定理知：，所以
2）＞1
设（1）有解，则d︱b；反过来，设d︱b，因为，所以……（2）有解，所以（1）有解。

所以，（1）和（2）是等价的。

下面求（2）的解即可。

但是要注意，（1）和（2）的模不同，所以（2）的相同的解不一定也是（1）的相同的解，下面我们在（2）的所有解中来求（1）的所有不相同的解。

设（2）的解为：，则所以形如（t为任意整数）的数都是（2）的解，因此这些数中所有关于模m不同余的数就是（1）的所有解。

因为当……（3）时，有，所以；反之也成立，所以（3）成立的充要条件是
因此，在所有形如的数中只要t取关于模d不同余的数，所得到的数就关于模m不同余，所以就是（1）的所有解。

定理1 一元一次同余方程中，
当，有解，
＞1，有解 d︱b，，其中是的解。

定理2 （中国剩余定理）设两两互质，
则同余方程组（4）
对于模有解：
其中：，
二．二元一次不定方程。

1．形式：
2．定理：有解︱c
三．例题讲解。

例1．解同余式。

1）
2）
3）
4）
例2．解同余方程组。

1） 2） 3）
例3．求出最小的正整数，它的一半是整数的平方，它的是整数的三次方，它的是整数的五次方。

例4．解二元一次不定方程。

1）
2）求：的整数解
高斯函数
一．定义。

叫高斯函数，定义域为R，y是不超过_的整数。

注：1）
2）
二．性质。

1）定义：为_的小数部分，所以
2）是不减函数，当时，
3）中整数部分可以外拿，
4）有
5）若则
6）在中，m的倍数有个
三．应用技巧。

1）充分利用的定义，根据定义，任意实数，而0≤ ＜1，于是，将关于任意实数_的问题，归结到讨论区间（0，1）上的关于的问题。

2）有意识的利用的性质，特别是前四个性质，因为这四个性质是直接由定义派生出来的，可以说是函数的本质属性的推论。

3）充分利用典型区间，设m= ，p= ，则_=m+p，其中0≤p＜1，于是，问题归纳到在[0，1]上讨论。

为此需要对区间（0，1）进行划分，分段讨论，又常分成几个相等的小段：，于是问题的讨论只要在典型区间上进行即可。

四．例题讲解
例1．任何实数_，y，
求证：
例2．求：
例3．设r是实数且满足条件：
求：（第9届美国数学邀请赛AIME试题）
例4．在数列 = 中每个奇数k出现k次，设有整数p,q,r存在，对所有正整数n，满足，其中表示不大于_的整数，
求：的值。

（《数学通讯》问题征解题）
高一数学竞赛专题培训讲解.。