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《半导体物理》讲义:第二章 晶格振动和晶格缺陷

第二章 晶格振动和晶格缺陷在上一章中,我们把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的,都处在其平衡位置上。

实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的,并且随着温度的升高,振动会不断加剧。

这种热振动也称晶格振动,它会破坏晶格的周期性,在晶格中造成缺陷,从而对半导体的性质产生重要影响。

实际三维晶体中原子的振动现象很复杂,在这里我们只分析一维晶体(单原子和双原子链)的振动,然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。

§2-1 一维均匀线的振动为研究一维原子链的振动,首先复习一下一维均匀线中弹性波(纵波)的传播现象。

设均匀线的质量密度为ρ,弹性模量为K ,又设线上每一点只能沿线本身的方向(纵向)运动,如图2-1所示。

若在线元x ∆上施加一作用力,它将引起x 点的纵向位移u (x )。

此时在x处的相对伸长(即形变)为xux e ∂∂=)(,在x x ∆+处的形变则为x xux e x x e ∆∂∂+=∆+22)()(。

根据胡克定律(Hooke's law ),此时在线元x ∆上的作用力为[]x xuK x e x x e K F x ∆∂∂=-∆+=∆22)()( (2-1)此作用力还可表示为线元质量x ∆ρ乘上加速度22tu∂∂,即22tux F x∂∂∆=∆ρ (2-2)从而有 22tu ∂∂=22222x u x u K ∂∂=∂∂υρ (2-3)式中,ρυK=是弹性波的传播速度(声波速度),与振动频率无关。

(2-3)式称线性振动方程,其解为具有如下形式的简谐波[])(ex p ),(t qx i A t x u ω-= (2-4)式中,A 为振幅,πνω2=为角频率,ν为振动频率,λπ2=q 为波矢(波数λ1π2⨯)。

由于波速λνυ=,从而有q υλπυπνω===/22 (2-5) 即ω与波矢q 成正比。

q 的绝对值可取∞→0,因而振动频率也可取∞→0,且与q 是一一对应的。

(2-5)式也称波的色散关系。

***胡克定律:是力学基本定律之一,适用于一切固体材料的弹性形变。

它指出:在弹性限度内,物体的形变与引起形变的外力成正比。

这个定律是英国科学家胡克提出的,所以叫做胡克定律。

(罗伯特·胡克,英国科学家,又译罗伯特·虎克(Robert Hooke ,1635年7月18日-1703年3月3日),英国博物学家,发明家。

1635年7月18日生于英国怀特岛的弗雷斯沃特村,1703年3月3日卒于伦敦。

在物理学研究方面,他提出了描述材料弹性的基本定律-胡克定律,在机械制造方面,他设计制造了真空泵,显微镜和望远镜,并将自己用显微镜观察所得写成《显微术》一书,细胞一词即由他命名。

在新技术发明方面,他发明的很多设备至今仍然在使用。

除去科学技术,胡克还在城市设计和建筑方面有着重要的贡献。

但由于与牛顿的争论导致他去世后少为人知。

胡克也因其兴趣广泛,贡献重要而被某些科学史家称为“伦敦的莱奥纳多(达芬奇)”)§2-2 一维单原子链的振动晶体由周期性排列的原子构成。

由于晶体微观结构的这种不连续性,使得晶体中原子的振动具有与连续媒质弹性振动不同的特点。

由于原子之间的相互作用,在晶体中每个原子的振动并不是彼此孤立的,而是一个原子的振动要依次传递给其他原子。

晶体中的原子振动,总体而言,也是以波的形式在晶体中传播的。

这种晶体中的原子振动波称格波。

下面分析由质量为m 、间距为a (晶格常数)的同种原子构成的一维单原子链的晶格振动。

如图2-2所示,假设第n 个原子的位移为u n 。

如果这个原子偏离平衡位置不远,则其受到的相互作用力可认为是准弹性的,并与原子间距的变化成比例。

因此,在忽略包括次近邻以外原子的作用后,n 原子所受到的作用力F n 为n-1和n+1两个最近邻原子的作用力之和,即)2()()(1111n n n n n n n n u u u u u u u F -+=---=-+-+βββ (2-6)式中,β称准弹性力常数且a K /=β,即a K β=,K 为弹性模量。

于是,第n 个原子的运动方程可写为=22dtu d m n)2(11n n n u u u -+-+β (2-7)该方程的解为简谐波[])(ex p t qna i A u n ω-= (2-8) 将(2-8)代入(2-7)得)2(2-+=--iqa iqa e e m βω=[]2sin 4)cos 1(22qaqa ββ-=-- 从而有 2sin 422qam βω= (2-9) 于是得 2sin 2sin )(22/1qaqa m m ωβω== (2-10)式中,2/1)/(2m m βω=为最大振动角频率。

(2-10)式即为一维单原子链的色散关系,也称频谱分布。

从而一维单原子链中准弹性波的传播速度为λπβπλπωλνλυa m sin )/(22/1=== (2-11) 与波长有关。

一维单原子链的格波(简谐波)具有以下性质:1.所有原子都以相同的角频率ω和振幅A 作简谐振动;2.各原子之间有一均匀变化的位相差。

位相差的大小由原子之间的距离a 和波长q πλ2=决定。

近邻原子间的位相差为a a q λπ2=; 3.如果两个波矢'q q 和之间存在以下关系l aq q π2'+= (l 为任意整数) (2-12) 则相应于这两个波矢的格波所引起的原子振动是相同的。

**因为,对于'q 格波,原子振动为[][]t)-ex p )2ex p()(ex p 2(ex p 'ωπωωπqna A nl i t qna i A t na l a q i A u n ()=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= =u n (2-13)与波矢为q 的格波所引起的原子的振动相同。

因此,当q 在2π/a 的范围内变化时,能够给出所有的独立格波。

为了明确起见,通常限制 aq a ππ<≤-(2-14)波矢q 的这一变化范围,称为第一布里渊区。

格波之所以具有上述性质,是因为晶体中的原子不是连续分布,而是周期排列的。

由于q 在aaππ和-之间取值,故当aq π=max 时,相应的格波波长最小,为a q 22maxmin ==πλ。

这个结果的物理意义λ=6a(q=2π/6a)λ=6a/7(q=7*2π/6a)λ=2a(q=π/a)是很清楚的。

因为在晶格中不可能存在半波长比晶格常数a小的格波。

图2-3中,画出了)6(62aaq==λπ和)2(aaq==λπ的两个格波。

而)7/6(62*7aaq==λπ的简谐波与aq62π=的格波相差aπ2,但半波长小于a,故不属于格波。

图2-3 一维单原子链中不同波长的格波§2-3 一维双原子链的振动如图2-4所示,假设在质量为m1和m2的两种原子组成的晶格常数为a的一维晶体中,分别用序列号'n和"n标志第n个原胞中的m1和m2原子,用'nu和"nu表示'n和"n原子的位移,并认为相邻原子之间的准弹性力常数β相等,则可仿照一维单原子链情况,写出以下两种原子的运动方程'"1"2'212(nnnn uuudtudm-+=-β))2("''12"22nnnn uuudtudm-+=+β(2-15)上述方程的解为[])(ex p1'tqnaiAunω-=[])(ex p 2"t qna i A u nω-= 3,2,1,0±±±=n (2-16) 将(2-16)代入(2-15)得0)1()2(2121=+---A e A m iqa βωβ0)2()1(2221=--+A m A e iqa ωββ (2-17) 这是一个二元线性齐次联立方程组。

若要A 1和A 2不同时为零,则其系数行列式必等于零。

即)2()1()1()2(2221ωβββωβm e e m iqa iqa -++--=0 (2-18) 利用qa e e iqa iqa cos 2=+-和2sin 2cos 12qaqa =-,可得 02sin 422212221214=++-qam m m m m m βωβω (2-19)从而有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2sin 112222021qa r ωω⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2sin 112222022qa r ωω (2-20) 式中,212122m m m m +=βω,221212)(4m m m m r +=。

由(2-20)可知,每个q 对应两个ω(负ω无意义)。

因此,在原胞中有两个原子的一维晶体中有两支振动波(格波),其中频率较高者与晶体的光学性质有关,通常称光学波。

而频率较低者则与宏观弹性波(声波)有密切关系,通常称声学波。

图2-5给出了一维双原子链振动频率与波矢之间的色散关系。

下面讨论两种极端情况,即对波长最长和最短的格波进行讨论。

1)对q=0和q=π/a 有01)0(ωω= , 201112)(r a -+=ωπω0)0(2=ω , 202112)(r a --=ωπω (2-21)从而有 )0()()()0(22101ωπωπωωω〉〉〉=aa =0 (2-22)2)对无限长波长声学波,0)0(2=ω,从而由(2-16)和(2-17)式有121"'==A Au u nn (2-23)即此时两个原子的位移相同。

这意味着无限长声学波中,两个原子的振动是同步的,并在任何时刻它们偏离平衡位置的方向相同,与弹性波类似,故称其为声学波。

3)对无限长波长光学波,最大频率01)0(ωω=。

根据(2-16)和(2-17)式有: 1221"'m mA A u u n n -== (2-24)因此,在无限长光学波中,同一原胞中的两个原子反向位移,位相相反,质量中心不动,即0"2'1=+n nu m u m 。

如果原胞由两个符号不同的离子组成,它们的反位相振动将导致原胞电偶极矩的变化,从而引起红外光的吸收和发射,故称其为光学波。

4)对较长波长格波,即q 较小时,有22sin qaqa ≈,从而(2-20)式中的根号项可展成级数,结果对光学波有:)321(22201q a r -≈ωω (2-25) 当0→q 时,光学波的相速度∞→=qf 1ωυ,而群速度0162201→-==q a r dq d g ωωυ. 而对声学波则有:q q m m araq υβωω=+=≈)(2412102 (2-26) 式中,a K /2=β。

上式表明,对于长声学波,振动频率正比于声速ρβυKm m a=+=)(221且相速度与群速度均等于声速,即:υυυ==g f 。

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