蚂蚁爬最短路问题进阶（综合）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
因圆柱的展开图为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C．
故选B
试题难度：三颗星知识点：略
2.如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( )
A.5dm
B.8dm
C.10dm
D.15dm
答案：C
解题思路：
如图所示，作圆柱的侧面展开图；
由题意得，AB=3，BB′=8，点C为BB′中点；
2AC即为所求；
∵BB′=8，点C为BB′中点；
∴BC=BB′=4
在Rt△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得，
解得，AC=5，
∴2AC=10
故选C
试题难度：三颗星知识点：略
3.编制一个底面直径为25cm，高为100cm的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2…．A1，B1是圆柱上下底面相对的两个点，同样A2，B2也是圆柱上下底面相对的两个点．则每一根这样的竹条长度最少是( )（π取3）
A.125cm
B.135cm
C.145cm
D.150cm
答案：A
解题思路：
圆柱的侧面展开图是一个长方形，绕织一周的竹条，
最短应是这个长方形的对角线长
∵底面直径为25
∴底面周长为25π≈75
设每一根这样的竹条长度最少是x
由题意可得，
解得，x=125
故选A
试题难度：三颗星知识点：略
4.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是( )m．
A.3
B.2.6
C.2.8
D.2.5
答案：B
解题思路：
侧面展开图如图所示，
∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，即BC=1.2
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=0.5，BC=1.2
由勾股定理得，
得
∴AC=1.3，
∴这段葛藤的长为2×1.3=2.6m
故选B
试题难度：三颗星知识点：略
5.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，10cm．如果用一根细线从点P开始经过4个侧面缠绕2圈到达点M，那么所用细线最短需要( )
A.9cm
B.13cm
C.26cm
D.30cm
答案：C
解题思路：
如图，作出缠绕1圈的侧面展开图
在Rt△PP′Q′中，∠PP′Q′=90°，PP′=12，P′Q′=5
由勾股定理得，PQ′=13
因此，缠绕2圈所用细线最短需要2PQ′=2×13=26cm
故选C
试题难度：三颗星知识点：略
6.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，
B在同一直线上，用一根棉线从点A出发顺着圆柱侧面绕3圈到点B，则这根棉线的长度最短为( )
A.5cm
B.9cm
C.12cm
D.15cm
答案：D
解题思路：
（思路：先算缠绕一圈的最短距离，再乘以3即可）
如图，将缠绕一圈的图形展开成平面图形，
根据“两点之间，线段最短”知，缠绕一圈的最短长度为的长
该长方形的长即为圆柱底面周长：，该长方形的宽为，
由勾股定理，知=5，因此缠绕3圈的最短长度为15cm．
故选D
试题难度：三颗星知识点：略
7.如图，A，B是直线同侧的两点，且点A，B到的距离分别为4.5，10.5，且垂足C，D间的距离为8，若点P是上一点，则的最小值为( )
A.13
B.15
C.17
D.20
答案：C
解题思路：
如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，
则点P即为所求点，线段的长即为的最小值
过点作直线的延长线于点E，
∵AC=4.5，BD=10.5，CD=8
∴，BE=15，
在Rt△BE中，∠E=90°，=8，BE=15，
由勾股定理得，
得
∴
所以的最小值是17
故选C
试题难度：三颗星知识点：略
8.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm．
A.10
B.15
C.20
D.25
答案：B
解题思路：
圆柱形玻璃杯侧面展开如图所示，
作点A关于MN的对称点B，连接BC交MN于点P，
则线段BC的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离
过点C作CD⊥AM于点D，
则，BM=AM=4
∵圆柱形玻璃杯高为12，点C距杯内离杯底4，
∴BD=12
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，CD=9，BD=12
由勾股定理得
∴，
解得，
∴AP+PC=BP+PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm
故选B
试题难度：三颗星知识点：略
9.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，则小虫爬到蜜糖A处的最短距离是( )
A.7厘米
B.8厘米
C.9厘米
D.10厘米
答案：D
解题思路：
圆柱展开图如图所示，最短路径即为的长，
由题意得，在Rt△中，PE=，=6-1.5+1.5=6
由勾股定理可得，
∴，
解得，
所以小虫爬到蜜糖A处的最短距离是10
故选D
试题难度：三颗星知识点：略
10.长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为14cm，5cm和8cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁长方形ABCD中心正上方3cm的点H处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是( )cm．
A.15
B.20
C.10
D.25
答案：A
解题思路：
分情况讨论：
①把长方体按照前面和右面展开，则蚂蚁到达饼干的最短距离如下图：
②把长方体按照前面和下面展开，则蚂蚁到达饼干的最短距离如下图：
∵225<245，
∴蚂蚁到达饼干的最短距离为15
故选A
试题难度：三颗星知识点：略
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