八年级数学勾股定理之蚂蚁爬最短路（勾股定
理）基础练习
试卷简介:全卷共两个大题，第一题是填空，1道，10分；第二题是解答，5道，每道18分；满分100分，测试时间25分钟。
本套试卷考察了勾股定理另外一个方面的应用——蚂蚁爬最短路程，主要测试了蚂蚁爬圆柱、蚂蚁爬长方体两大题型的做法，这部分内容需要大家具备一定的想象能力，“换位思考”将空间立体几何转化为平面几何来解决问题，初做题目时难度系数比较大，但这类题型做题方法比较固定，掌握了方法之后题目就变得非常简单。
同学们在做题过程中可以再次体会勾股定理的妙用，多角度、全方位地掌握勾股定理及其应用。
学习建议:本讲内容需要同学们“换位思考”解决问题，将无法求得的空间几何题转化到平面图中，利用两点之间线段最短和勾股定理解决问题，同时题目中也蕴含了分类讨论这一思想。
本套试卷有一定的难度，但解题方法比较单一，同学们需要掌握最基本的方法再多加练习便可轻松掌握本讲内容。
一、填空题(共1道，每道10分)
1.如右图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______米．
答案：7
解题思路：仔细观察发现，地毯的长度至少要等于两直角边的和.由勾股定理可求得另一直角边为4米，故地毯的长度至少需要7米.
易错点：把握不准题意
试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用
二、解答题(共5道，每道18分)
1.如图所示，有一个圆柱它的高等于12cm，底面半径等于3cm．在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的上底面的B点的食物，则需沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？（π取3）
答案：15cm
解题思路：圆柱侧面展开图为长方形，如图所示，根据两点之间线段最短，则展开图中的线段AB长即为所求.应用勾股定理，AB2=122+（3π）2=225，且AB>0，则AB=15（cm）
易错点：侧面展开图，蚂蚁爬圆柱的一般套路
试题难度：四颗星知识点：平面展开最短路径问题
2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径约为4cm．你能算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取3）
答案：13cm
解题思路：圆柱侧面图为长方形，如图所示，根据两点之间线段最短则展开图中的斜边AB'长即为所求.应用勾股定理，AB'2=52+（4π）2=169，且AB'>0，故AB'=13（cm），即藤蔓一晚上生长的最短长度为13cm.
易错点：不知道将侧面图展开来解决问题
试题难度：四颗星知识点：平面展开最短路径问题
3.如图所示，有一长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4．在点A´处有一只蚂蚁，它想吃到与点A´相对的C点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路长的平方是多少？
答案：74
解题思路：将长方体正对着我们的面记为“前面”，与它相对的面记为“后面”，左右两面分别记为“左面”、“右面”，上下两面分别记为“上面”、“下面”.显然，从A'到C的最短路线一定是从A'出发，经过长方体的两个面到达C.具体来说，它可能有“前上”、“前右”、“左上”、“左后”、“下右”、“下后”6种不同的情况（当然，“下右”、“下后”2种情况在实际问题中不具有可行性）.在这6种情况中，分别展开可能经过的两个面，根据两点之间线段最短可求得3种长度结果：
第一种结果：如图所示，；（“前上”、“下后”）
第二种结果：如图所示，；（“左上”、“下右”）
第三种结果：如图所示，；（“前右”、“左后”）
综上所述，最短路长的平方为74.
易错点：从点A'经过两个面到达点C有六种途径，没有分类讨论
试题难度：五颗星知识点：平面展开最短路径问题
4.如图所示有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m．为营造喜庆气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀的缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？
答案：2.9m
解题思路：因为彩带是均匀地缠绕7圈，所以只需求出一圈的长然后乘以7即可.圆柱的侧面展开图是长方形，如图所示，设彩带缠绕一周后从点A到达点B，如图所示，则缠绕一圈
的最短长度就是线段AB的长，应用勾股定理可求得AB2=（）2+0.32=，且AB>0，故AB=，所以整根彩带至少长为7AB=2.9（m）.
易错点：把握不准题意，不知道将侧面图展开来解决问题
试题难度：四颗星知识点：平面展开最短路径问题
5.如图，一个长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ，8cm，30cm ．在棱AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路长是多少？
答案：25cm
解题思路：将长方体正对着我们的面记为“前面”，与它相对的面记为“后面”，左右两面分别记为“左面”、“右面”。
由于该长方体盒子无盖，则小虫只有经过“前面”、“右面”或者“左面”、“后面”才可能使路径最短。
将“前面”、“右面”展开到同一平面上，如图所示，点D到点C的最短距离就是斜边DC的长，利用勾股定理可求得这段长为25cm。
而将“左面”、“后面”展开到同一平面后所算得最短路径和前一种展开方法所算得的最短路径等长，故最短路长是25cm，最短路径有两条，分别将展开图中的最短线段还原到长方体中即可。
易错点：把握不准题意，不知道将侧面图展开来解决问题
试题难度：四颗星知识点：平面展开最短路径问题。