试卷类型：A
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2013.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B
P A P B ⋅=⋅.
线性回归方程 y bx
a =+ 中系数计算公式 1
2
1
n
i i i n
i i x x y y b a
y bx x x ()()
,()==--∑==--∑ ， 其中y x ,表示样本均值.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=
，则 A ．U A B = B ．U =(
)U A ðB C ．U A = ()U B ð D ．U =()U A ð(
)
U B ð
2. 已知
11a
bi i
=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i = A ．12+i B ．2+i C ．2-i D ．12-i
3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
则2z x y =-的最大值为
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3
图1
俯视图
侧视图
正视图
4. 直线0x -
=截圆()2
224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是
A ．
6π B ．3
π
C ．
2
π D ．23π
5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
A ．2
B ．1
C .
23 D . 13
6. 函数()()y x x
x x sin cos sin cos =+-是
A ．奇函数且在02,π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2x
x +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-
的零点为b ，则下列不等式中成立的是
A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头
B . 已知AB =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中 的速度大小为
A ．8 km/h
B ．
C ．km/h
D ．10km/h
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．1
0x cos ⎰d x = .
图3
C
11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：
根据上表可得回归方程ˆˆ1.23y
x a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．
12．已知01a a ,>≠，函数()()()11x
a x f x x a x ,
,
⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大
值比最小值大
5
2
，则a 的值为 . 13. 已知经过同一点的n
n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()f
n 个部分，则()3f = ，()f n = .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，点
B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短
时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）
如图3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D 若3BC =，16
5
AD =，则AB 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4
f x A x π
ω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周
期为8.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的
面积.
图4
A
B
C A 1
C 1
B 1
D
E 17．（本小题满分12分）
甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为
1
2
，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布
列为：
(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望.
18．（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱111
ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形， 1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.
（1）求证：CE ∥平面1
A BD ； （2）若H 为1A
B 上的动点，当CH 与平面1
A A
B 所成最大角的正切值为2
时， 求平面1
A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断
111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()
20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；
(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点
P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数()
21f
x x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-
的解集为()
1m m ,+，其中m 为非零常数.设()
()1
f x
g x x =
-.
（1）求a 的值；
（2）k k (∈R )如何取值时，函数()
x ϕ()g x =-()
1k x ln -存在极值点，并求出极值点；
（3）若1m =，且x 0>，求证：1122n n n g x g x n +-+≥-∈(())()(N *).。