广州市初三级数学科第一次模拟考试（考试时间： 120分钟，满分：150 分。

） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.-3的绝对值是（ ） Ａ．13 Ｂ．13- Ｃ．3 Ｄ．3- 2.下列运算中正确的是（ ）Ａ．326a a a = Ｂ．347()a a = Ｃ．632a a a ÷= Ｄ．5552a a a +=3.据人民网5月20日电报道:中国森林生态系统年涵养水源量4947.66亿立方米,相当于12个三峡水库2009年蓄水至175米水位后库容量，将4947.66亿．用科学记数法表示为（ ）Ａ．134.9476610⨯ Ｂ．124.9476610⨯ Ｃ．111094766.4⨯ Ｄ．104.9476610⨯ 4.如图，将ABC △绕点C 顺利针方向旋转40︒得A CB ''△，若AC A B ''⊥，则BAC ∠等于（ ）Ａ．50︒ Ｂ．60︒ Ｃ．70︒ Ｄ．80︒5.如图，已知梯形ABCD 的中位线为EF ，且AEF △的面积为26cm ，则梯形ABCD 的面积为（ ）Ａ．212cm Ｂ．218cm Ｃ．224cm Ｄ．230cm 6.下列命题中，正确命题的序号是（ ） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②一组邻边相等的平行四边形是正方形 ③对角线相等的四边形是矩形 ④对角互补的四边形内接于圆Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④7.一组数据2、1、5、4的方差和中位数分别是（ ） A ．2.5和2 B ．1.5和3 C ．2.5和3 D ．1.5和28．关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >- B ．10a a >-≠且第4题图 第5题图C ．1a <-D ．12a a <-≠-且9．如图是四棱锥（底面是矩形，四条侧棱等长），则它的俯视图是（ ）10．如图，已知Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）A ．84π5 B ．24π C ．168π5D ．12π二．填空题（每小题3分，共18分） 11．分解因式：2327a -=_____________． 12.函数2x y -=的自变量x 的取值范围是__________.13．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标 为（1，4），将线段O A 绕点O 顺时针旋转90°得到 线段OA′，则点A′的坐标是 ．14．如图5所示，AB 是O ⊙的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若50ACD ∠=°，则DAB ∠_____________．15．如图6所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距____________米．16．已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分ACB第10题图A ．B ．C ．D ．第9题图y xA B C DO别交于点C 、B ，与双曲线xky =交于点A 、D ， 若AB+CD= BC ，则k 的值为 .三、解答题（共102分）17、（9分）计算：10122cos60(32π)2-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭°18、（9分）先化简，再求值：2211()11a a a a++÷--，其中2a =19、（10分）如图,点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上,连结BP 并延长与AD 的延长线交于点Q .(1)求证:DQP ∆∽CBP ∆；(2)当DQP ∆≌CBP ∆，且8=AB 时，求DP 的长.20、（10分）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点，再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示.斜坡AB 的长为1040米，斜坡BC 的长为400米，在C 点测得B 点的俯角为30°,已知A 点海拔121米，C 点海拔721米.（1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB 的坡度.21．（12分）某电脑公司各种品牌、型号的电脑价格如下表，育才中学要从甲、乙两种品品牌型号、价格甲乙型号 A B C D E 单价（元/台）60004000250050002000（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）.如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？（2）该中学预计购买甲、乙两种品牌电脑共36台，其中甲品牌电脑只选了A 型号，学校规定购买费用不能高于10万元，又不低于9.2万元，问购买A 型号电脑可以是多少台？22.（12分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．⑴求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；⑵为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．23、（12分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4， （1）求证：△ABE ∽△ADB ；（2）求AB 的长；（3）延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．24、（14分）如图，在Rt ABC △中，906024BAC C BC ∠=∠==°，°，，点P 是BC 边上的动点（点P 与点B C 、不重合），过动点P 作PD BA ∥交AC 于点D ． （1）若ABC △与DAP △相似，则APD ∠是多少度？（2）试问：当PC 等于多少时，APD △的面积最大？最大面积是多少？（3）若以线段AC 为直径的圆和以线段BP 为直径的圆相外切，求线段BP 的长．25、（14分）已知：m 、n 是方程2650x x -+=的两个实数根，且m<n ，抛物线2y x bx c=-++的图像经过点A(m ，0)、B(0，n)． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．60°A D C BP ODCEAFB答案一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案CDCACDCDCA二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分．注：答案不正确、不完整均不给分） 11. ()()333-+a a 12．2x ≥且3x ≠13．（4，－1）14． 40° 15． 116．43-三、解答题（本大题共9题，共102分） 17、（9分）解：原式122212=+-⨯+ ……8分（每算对一个给2分） 4=． ……9分 18、（9分）解：原式=()()()()21111111a a a a a a a⎡⎤++-⨯⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦………………………4分=211a -. ………………………7分 当2a =时， 原式=1121=-.………………………9分 19、（10分）(1)证明: Θ四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD , ∴∠QDC=∠C . ………………………4分 又∠DPQ=∠BPC , ∴△DQP ∽△CBP . ………………………5分 (2) 当△DQP ≌△CBP 时，PQ=PB ，所以P 是QB 的中点.又DP ∥AB ,所以DP 是△ABQ 的中位线.所以DP=21AB=4. 解法二：Θ△DQP ≌△CBP , ∴ DP=CP=21DC . ………………………7分Θ四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD . ………………………9分∴ DP= 21AB =4. ………………………10分20、（10分）解：（1）过点C 作CF ⊥AM ，F 为垂足，过点B 作BE ⊥AM ，BD ⊥CF ，E 、D 为垂足. ……1分∵在C 点测得B 点的俯角为30°，∴∠CBD =30°，…………………………………2分 又∵BC =400米，∴CD =400×sin 30°=400×12=200（米）……………4分∴B 点的海拔为721－200=521（米………………5分（2）∵BE =521－121=400（米），AB =1040米，…………………6分∴960AE =（米）. ………………………8分∴AB 的坡度400596012AB BE i AE ===，…………………………………………9分 所以斜坡AB 的坡度为1：2.4. …………………………………………………10分 21、（12分）解：（1）树状图如下：…………………3分共有6种选购方案：(,)A D 、（B ，D ）、（C ，D ）、（A ，E ）、（B ，E ）、（C ，E ）.1(.3P A 型号被选中)= …………………5分（2） 设购买A 型号x 台，由（1）知当选用方案(,)A D 时：由已知9200060005000(36)100000x x +-≤≤ …………………7分得8880x --≤≤，不符合题意. …………………8分 当选用方案()A E ，时，由已知：9200060002000(36)100000x x +-≤≤ …………………10分得57.x ≤≤ …………………11分 答：购买A 型号电脑可以是5台，6台或7台. …………………12分 22、（12分）解：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x ，……1分 根据题意，75（1+x ）2=108……………………………………………………4分 1+x=±1.2∴x 1=0.2=20% x 2=﹣2.2（不合题意，舍去）……………………………5分 答：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%…………6分 （2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y 万辆，由题意得： ……………7分（108×0.9+y ）×0.9+y≤125.48…………………………………………………10分 解得y≤20答：从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过2023、（12分） 解：（1）证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ．…………1分∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠D ． …………2分又∵∠BAE =∠EAB ，∴△ABE ∽△ADB ．………3分 （2）∵△ABE ∽△ADB ， ∴AB AEAD AB=， …………4分 ∴2()(24)2=12AB AD AE AE ED AE ==+=+⨯，··……5分（3）直线FA 与⊙O 相切，理由如下：…………………7分 连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，…………………8分∴BD ==BF =BO=12BD =10分 ∵AB=90BF BO AB OAF ===o ，可证∠，…………………11分 ∴直线FA 与⊙O 相切． …………………12分 24、（14分）解：（1）当△ABC 与△DAP 相似时，∠APD 的度数是60°或30°．…………………2分 （2）设PC x =，∵PD BA ∥，90BAC ∠=°，∴90PDC ∠=°， 又∵60C ∠=°，∴24cos6012AC ==g °，1cos602CD x x ==g °， ∴1122AD x =-，而sin 60PD x ==g°， ∴11112222APD S PD AD x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭g g g △ …………………4分22(24)12)88x x x =--=--+．…………………6分 ∴PC 等于12时，APD △的面积最大，最大面积是8分 （3）设以BP 和AC 为直径的圆心分别为1O 、2O ，过 2O 作 2O E BC ⊥于点E ， 设1O ⊙的半径为x ，则2BP x =．显然，12AC =，∴26O C =，∴6cos603CE ==g °，∴2O E ==，124321O E x x =--=-，…………………10分又∵1O ⊙和2O ⊙外切， ∴126O O x =+．在12Rt O O E △中，有2221221O O O E O E =+，∴222(6)(21)x x +=-+，…………………12分 解得：8x =， ∴216BP x ==．…………………14分 25、（14分）解：（1）解方程2650x x -+=，得125,1x x ==…………………1分 由m<n ，有m ＝1，n ＝5所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）．…………………2分60AD CBPO 2O 1 E。