2012年新课标1卷数学(文科)第I 卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题有且只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|20}A x x x =--<,{|11}B x x =-<<,则( )A .AB B .B AC .A B =D .A B φ=2.复数32iz i-+=+的共轭复数是( ) A .2i + B .2i -C .1i -+D .1i --3.在一组样本数据(1x ,1y ),(2x ,2y ),…,(n x ,n y )(2n ≥,1x ,2x ,…,n x 不全相等)的散点图中,若所有样本点(i x ,i y )(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+上,则这组样本 数据的样本相关系数为( ) A .-1B .0C .12D .14.设1F 、2F 是椭圆E :2222x y a b +(0a b >>)的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )A .12B .23C .34D .455.已知正三角形ABC 的顶点A (1,1),B (1,3),顶 点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部, 则z x y =-+的取值范围是( )A .(13-,2)B .(0,2)C .(31-,2)D .(0,13+)6.若执行右边和程序框图,输入正整数N (2N ≥)和 实数1a ,2a ,…,N a ,输出A ,B ,则( )A .AB +为1a ,2a ,…,N a 的和B .2A B +为1a ,2a ,…,N a 的算术平均数C .A 和B 分别是1a ,2a ,…,N a 中最大的数和最小的数否是是1k k =+B x=A x=结束输出A ,B ?k N ≥?x B <kx a =?x A >开始输入N ,1a ,2a ,…,N a1k =,1A a =,1B a =否是 否D .A 和B 分别是1a ,2a ,…,N a 中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A .6B .9C .12D .158.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的 距离为2,则此球的体积为( ) A .6πB .43πC .46πD .63π9.已知0ω>,0ϕπ<<,直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=( ) A .4π B .3πC .2πD .34π 10.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线216y x =的准线交于A ,B 两点,||43AB =,则C 的实轴长为( )A .2B .22C .4D .811.当102x <≤时,4log xa x <,则a 的取值范围是( ) A .(0,22) B .(22,1) C .(1,2) D .(2,2) 12.数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{n a }的前60项和为( )A .3690B .3660C .1845D .1830第Ⅱ卷(共90分)本试卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为_________。
14.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3230S S +=,则公比q =___________。
15.已知向量a ,b 夹角为45°,且||1a =,|2|10a b -=,则||b =_________。
16.设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M m +=____________。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C的对边,sin cos c C c A =-。
(1)求A ;(2)若2a =,△ABC,.b c18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; ②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于75元的概率。
19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒,AC=BC=21AA 1,D 是棱AA 1的中点。
(1)证明:平面BDC 1⊥平面BDC ;(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。
20.(本小题满分12分)设抛物线C :py x 22=(0>p )的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,F A 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点。
(1)若∠BFD =90°,△ABD 的面积为24,求p 的值及圆F 的方程;(2)若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值。
A 121.(本小题满分12分) 设函数()2xf x e ax =--。
(1)求)(x f 的单调区间;(2)若1a =,k 为整数,且当0x >时,()'()10x k f x x -++>,求k 的最大值。
请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22. (本小题满分10分) 选修4—1:几何证明选讲如图,D ,E 分别为ABC ∆边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC ∆的外接圆于F ,G 两点。
若CF ∥AB ,证明: (1)BC CD =; (2)BCD ∆∽.GBD ∆23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。
正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,3π)。
(1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-。
(1)当3-=a 时,求不等式3)(≥x f 的解集;(2)若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1,2],求a 的取值范围。
2012年全国卷文科数学答案 第I 卷(共60分)1.B 【解析】因为{|12}A x x =-<<,{|11}B x x =-<<,所以B A .故选择B 。
2.D 【解析】因为(3)(2)551(2)(2)5i i iz i i i -+--+===-++-,所以1z i =--,故选择D 。
3.D 【解析】因为112y x =+中,102k =>,所以样本相关系数0r >,又所有样本点(i x ,i y )(i =1, 2,…,n )都在直线112y x =+上,所以样本相关系数1r =,故选择D 。
4.C 【解析】如图所示,21F PF ∆是等腰三角形,212130F F P F PF ∠=∠=︒,212||||2F P F F c ==, 260PF Q ∠=︒,230F PQ ∠=︒,2||F Q c =,又23||2a F Q c =-,所以32a c c -=,解得34c a =,因此34c e a ==,故选择C 。
5.A 【解析】正△ABC 内部如图所示,A (1,1),B (1,3),C (13+,2)。
将目标函数z x y =-+化为y x z =+,显然在B (1,3)处,max 132z =-+=;在C (13+,2)处,min (13)213z =-++=-。
因为区域不包括端点,所以132z -<<,故选择A 。
6.C 【解析】由程序框图可知,A 表示1a ,2a ,…,N a 中最大的数,B 表示1a ,2a ,…,N a 中最小的数,故选择C 。
7.B 【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥A-BCD , 底面△BCD 为 底边为6,高为3的等腰三角形,侧面ABD ⊥底面BCD , AO ⊥底面BCD , 因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=,故选择B 。
8.B 【解析】如图所示,由已知11O A =,12OO =,在1Rt OO A ∆中,球的半径3R OA ==,ODA所以此球的体积34433V R ππ==,故选择B 。
9.A 【解析】由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=,从而1ω=。
由此()sin()f x x ϕ=+,由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值,所以sin()14πϕ+=±,结合选项,知ϕ=4π,故选择A 。
10. C 【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=,即222x y a -=(0a >),抛物线216y x =的准线方程为4x =-,联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩,解得2216y a =-,因为||43AB =,所以222||(2||)448AB y y ===,从而212y =, 所以21612a -=,24a =,2a =, 因此C 的实轴长为24a =,故选择C 。
11.B 【解析】显然要使不等式成立,必有01a <<。
在同一坐标系中画出4xy =与log a y x =的图象。