数列知识点及常用结论-、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：a^ a i （n - 1）d （从第1项印开始为等差）a n = a m - （n- m）d （从第m项a m开始为等差）比代二nda n=a m+（ n-m）d=仁a n-a md = ----— mL.n②前n项和公式：皿且2訂务2 2（2）证明等差数列的法方①定义法：对任意的n,都有a ni -a. =d（d为常数）二{a.}为等差数列②等差中项法：2a n^a n■ a n 2（n，N ）= {a n}为等差数列③通项公式法：a n=pn+q （p , q为常数且p z 0）u {a n}为等差数列即:通项公式位n的一次函数，公差d = p，首项a^ p q2④前n项和公式法：S n = p n +qn （p , q为常数）={a n}为等差数列即:关于n的不含常数项的二次函数（3）常用结论①若数列{a n}, {b n}为等差数列，则数列{a n k} , {kLa n} , {a n - b n}, {ka n b}（k , b为非零常数）均为等差数列.②若m+n=p+q （m, n, p, q N*），贝U a. a m=a p a q.特别的，当n+m=2k时，得a n' a m= 2a k③在等差数列{a n}中，每隔k（k • N*）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为（k+1）d（例如：a1, a4, a7, a10仍为公差为3d的等差数列)④若数列｛a*｝为等差数列，则记2 =6 • a?山. 宀比,S2k -S k二a k i • a k 2宀.... 宀a2k,2 S3k _S2^a2k 1 a2k 2 .... ' a3k，则S k , Sk , S k 仍成等差数列，且公差为k dS⑤若S n为等差数列｛a n｝的前n项和，则数列｛」｝也为等差数列.nf S|,( n = 1)⑥a n二此性质对任何一种数列都适用! S n - S二，(n-2)⑦求S n最值的方法：a兰0I：若a i>0，公差d<0，则当彳时，则S n有最大值且S k最大；(A卑兰0N _ 0 若a i<0，公差d>0，则当时，贝V S n有最小值，且S k最小；I a k i 一0II :求前n项和S n pn • qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k , 当n二k时，S k为最值，是最大或最小，通过S n的开口来判断。

二、等比数列(1)等比数列的基本公式①通项公式：n 1a n =aq (从第1项a i开始为等比)a二a q (从第m项a开始为等差)②前n项和公式：—,(q ~1)，Sfq-1)(2)证明等比数列的法方①定义法：对任意的n,都有a n 1 = qa n(a n = 0)= 色」=q (q = 0)= {a n}为等比数列a n②等比中项法：2a n 二a n^nj ( a.咼4 = 0) := {a n}为等比数列③通项公式法：n 1a n =aq (a,q是不为0的常数)=｛a n｝为等比数列(3)常用结论①若数列{a*} , {b n}为等比数列，则数列{—} , {kL a n} , {a n }, {a2n J}，{a n b n} {}a nb n(k为非零常数)均为等比数列.②若m+n=p+q (m , n, p, q N*),贝V a^a m= a^a q.特别的，当n+m=2k时，得a^a m = a k2③在等比数列{a n}中，每隔k(k・N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为q k1侧如：a!，a4，a?，印。

.......... 仍为公比q3的等比数列)④若数列{a n}为等差数列，则记=冃*a2 比，S2k —2 =兔十+比也*... + a2k， E k — S2k =a2k卅+a2k~2 + .. *a3k，则S k，S2k -S k，S3k -S2k仍成等比数列，且公差为q k三、求任意数列通项公式a n的方法(1累加法：若a n满足a n+i=a n+f(n)利用累加法求：a n a n - a i (a2 - a i) (a3 - a2) (a4 -a3) ' (a^ - a n J)例题：若a i =1，且 a n a n 2n，求：a n练习题：若数列a n满足a ni-aV1=0，且印=0（2）累乘法：右a n满足a n彳=f （n） a n利用累乘法求：a na n "丄（並）」竺）」竺）_…一（电）a i a2 a3 a n J例题：在数列｛a n｝中，a^- ,a n n_ a n，求：a n.2 n练习题：在数列｛a n｝中，a^i = 1且务=na n 1，求：a n（提示：12 3(3)递推公式中既有S n，又有a n，用逐差法fSi n=1a n二特别注意：该公式对一切数列都成立。

S n - S n」n3 2(4)若a n满足a. .1 = pa. •q,( p = q),则两边加：x=—，在提公因式P,构P—1造出一个等比数列，再出求：a n例题：已知数列｛a n｝，满足：a n 1 = 2a n T，且a i =1，求：a.习题1：已知数列 'a*｝满足：a n卅—3a“ = 1 且 a1 = 1，求：a“习题2:已知数列曲满足：a/2，且Sn*n= n，求：务(5) 若a n 满足a n pa n p n k ，则两边同时除以：p n1，构造出一个等差数列,再求出：a n例题：已知a n 满足：6 =1 a n .1 =2a n • 2n 」，求：a .习题 1:已知 a * i -3a n = 3n 1且@ = 1，求：a n习题 2：已知 a n ^2a n 3 2n J且 a^1，求：a n(六)待定系数法：若〈aj 满足以下关系:a n ka n • f n 都可用待定系数法转变成一个等比数列来：解:a n 2n 1O n .丄 2n2，既有: a n 1所以:聲是首项为:2n 空二1，公差d 二1的等差数列2 2 2a n 2n 所以：务专八2温馨提示：提k，对f (n)待定系数例题1：已知数列｛a n｝满足a n 2a n 3 5n，a^ 6，求数列「a/的通项公式•解：a n申+x‘5n* =2(a n+x‘5n)n a n* =2a n—3x 5n，与原式对应得，x = —1 _ 5计盼-外an^|^ = 2an -5所以：「a n -5n ?是首项a i -5^1，公比q = 2的等比数列既有：a n -5n=2心:a n =5n• 2nJ例题2：已知数列｛a n｝满足a n3a n 5 2n 4，印=1，求数列｛a n｝的通项公式.解：a n 1 X 2n 1 y = 3(a n X 2n y)二 a n i =3a. x 2n 2y，与原式对应得：x=5, y=2a n 1 5 2n 1 2 =3(a n 5 2n 2)二an 15 2n2 =3a n 5 2n 2所以：^a n■ 52n- 2?是首项为：a1 5 21 ^13，公比q = 3的等比数列既有：a n 5 2n^-13 3n J : a n =13 3n°-5 2n-2（七）颠倒法：若⑴满足：a n「徒，用颠倒法;C a n -1 a n C a n C 1 1a n 1 一a n Ca n 1C a n C a n C a n C a n所以：1 1 1 ，所以：{1}是以首项为:1 1，公差d 的等差数列a n 1 a n C a n 印 C例题1:已知an -12 a n -，且@=2，求: a n例题2:已知a n-i a n= 3a n -3a n1，且a i =1，求：a n（八）倒数换元法：若数列d 满足："£，则颠倒变成1 B a n C C A a n 1 B—+—a n A然后再用两边加: 或者待定系数法既可求出 a n 再颠倒就可得到：例题：若数列CaJ 满足: a n 1 2a n，且 a<i = 1，求:a n 3a n解：a n 1 口 2a n a n 3 a n 1 —-，两边加: 2 a n 1得: 丄"J an 1 2 丄虫a n 2「1 a n 1 a n 1所以: ‘1 既有: 丄1a n1・1 =2，公比: a 1 =—的等比数列;2丄1=2（2宀 1 3nJ -2n ^ a n a na n3门」2门-2若用待定系数法: 2a n a n 1 法同上; an ^a?^ an 1 2 1 . .—+ — a n x"丄 3x= 2 a n 2 a n 1 2 a n -1X ( x)a n 1 2 an1-丄x 与原式子对应得 X = 1，然后的方2四、求前n项和S n的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前 n项和；或者是等差与等比的商的前n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。

既：设a na a为等差数列，b n为等比数列，求：a n b n或n的前n项和常用此方法（J都转变为乘积b n b n形式）例题1：已知数列a n =2n，数列｛b n｝的前n项和S n二n2 2n，求数列｛a n b n｝的前n项和T n例题2：求数列a n二3^ 的｛a n b n｝的前n项和S n2习题 1:求：S n =1 2 4 22 7 23 ... (3n —2) 2n 习题2：设数列a n二(2n n 11)，求a n的前n项和S n3(2)裂项相消求和1 1111适用于a n的形式，变形为：a n( ) n，(n +k) n，(n +k) k n n + k1例题：求数列a n - 的前n项和S nn(n +1)习题1：1求数列a n 的前n项和S n习题2：1 1 1求数列L，L L，''；L 1----- ，…的前n项和.(3)、 例题: 分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求, 求 a n =3n • 2n • 1 的前 n 和 S n ？在进行加减; 习题1：数列b n 已知｛a n ｝是一个递增的等差数列且 a 2 a^ 45,a 1 a 5 = 14 = 22n 1的前n 项和为S n ，求数列c n = a n -2b n 的前n 项和T n ｛a n ｝前n 项和为S n(3)、倒序求和：若a k • a n —f (k)，则a n的前前n项和S n用倒序求和-f(n) 【角标之和为n，1, f(n)可以为一个常数，能用倒序求和的，f(1)・f(2) •定是可求的】例题1 :若数列a m ■ an 1 _m = 2m，求a n的前前n项和S n习题2：若数列a k =3k -a n± d，求a*的前前n项和S n。