波动理论（浅水运动中的平面波）
1
一 平面波的基本概念
频散关系 相速度和群速度 频散波和非频散波
Re0 ei (kxlyt ) Re0 ei ( )
2
频散关系
频散关系是指波动的频率和波数之间的关系， 它代表了某种波动的特征，任何一种特定的 波动都有其特定的频散关系，因而频散关系 也是确定波动性质的非常有效的工具。
y
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位涡方程变形为
f0 q f0 y 2 ( y h0 ) LD D
2

U f 0 q x 0, q y y yU 2 , q t 0 LD D
q
2

L2 D
( t U x )q x 0 i .e.( t U x )(
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共振的发生

m
2 m2 L D
0
此时发生共振，一般情况下共振的发生都是 在外强迫的频率和系统Normal Mode的频率 一致时发生的。
48
四 斜压Rossby波的初步知识
垂直方向的层结，相当于增加了垂直方向的 边界，因而斜压Rossby波实际上就是垂直方 向的边界产生的Normal Mode波动，因而也 将斜压Rossby波的各个模态称为Baroclinic Mode。
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6 长波的非多普勒效应
k L
2 2 D
f0 D cU 2 U 2 2 2 K LD LD LD
f0 U q y yyU 2 LD D
长Rossby波的一个特殊性质就是非多普勒效 应，产生这个情况的原因是平流的多普勒效 应和平流产生的环境位涡梯度效应相互抵消， 因而长Rossby波的波速是不变的，假定不考 2 c L 虑地形效应，长Rossby波的波速为 x D
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2 f=0（无旋转）下平面无限等深 流体内的波动
tt c 2 xx 0,
c gH
c c0
c 0 K
浅水重力波是二列方向相反，频率大小相同 的波动 ，这是一种非频散波。
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浅水重力波
x 0 t=0
t=t1
t=t2
Cot
u=(g/H)1/2 =0
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浅水重力波
x
0
t=0
0/2 t=t1
0/2 t=t2
t=t3
u=0, =0
wave wake
wave front
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3 f=C（f平面）下平面无限等深流 体内的波动
{ f c K }
2 2 0 2 1 2
无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同 的波动。在海洋上这种长波称为邦加莱波 （Poincare）。在气象上，这种长波称为惯性重力 波，即在地球旋转影响下的重力波。旋转（地转） 使波速增大。频率大于f，周期小于地转周期的一 半。即频率大大地超过大尺度大气海洋缓慢地运 15 动频率。
2

L
2 D
) x 0
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定常情况
J ( , Q ) 0
有地形存在而不存在行星涡度梯度下，流动 沿等深线；不存在地形而存在行星涡度梯度 下，流动沿纬线。
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非定常情况——Rossby波
此时可以发现地形、海面起伏（环境涡度梯 度）和科氏参数变化（行星涡度梯度）是等 价的，即如果只存在地形的话就可以产生地 形Rossby波；只存在行星涡度梯度的话也可 以产生Rossby波。
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Kelvin波
c0 k
波动传播的x方向满足地转平衡，由于y方向存在边 界限制，波动在y方向不满足地转平衡，整个波动是 非地转的。由于y方向存在边界限制，只有y方向上 有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减 。开尔 文波的传播方向和边界位置有关，对于一个面向波 转播方向的观察者来说，在北半球，边界位于其右 侧，而在南半球，边界位于其左侧。
2 c0 gH0
9
定常运动
g u f y g v f x
如果运动为定常的浅水小振幅运动即为 地转流
10
非定常运动——波动
对波动而言波动的主控动力学方程是相同的， 不同主要是边界条件的不同，不同的边界条 件（强迫）决定了不同的波动的频散关系 （频散关系即频率和波数之间的关系，它决 定波动的特性），也就决定了不同性质的波 动．下面我们就在不同的边界条件下讨论不 同性质的波动
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观测到的长Rossby波波速
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7 Rossby波的能量传播图
2 F L D
k 0 2 2 2 [k ] l F 2 2 4
k2 l2 F
波矢必须位于k-l平面的一个圆上 ,0) 圆心：(
2

2 ( 2 F )1 2 半径： 4
Rossby波的产生和位涡密切相关，位涡梯度 的存在是Rossby波的恢复机制。
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考虑基本流和地形作用
f0 q f 0 y 2 hB LD D
2

LD
2
gH 2 f
q q q'
U( y )dy U0 y
hB y h0
30
3 Rossby波的形成机制
y westward f, so
x
位涡守恒和位涡梯度的存在是Rossby波形成 的机制。
31
4 Rossby波的相速度和群速度
c

k


2 K 2 L D
c gx
2 (k 2 l 2 L D) 2 2 ( K 2 L D )
43
44
45
46
9 强迫Rossby波
t (
2

L2 D
) x Foei(mx t )
0ei(mx t )
0
2 i( (m2 L D ) m)
F0
与自由波不同，强迫波的波数和频率已经由 外强迫所确定，振幅未知。 所得的解一般不满足初始条件。
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能量传播图
l
K
Cg
k
(a, 0)
[/(-2), 0]
Where a=/(-2)-[(/(-2))2-LD-2]1/2
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8 有界区域中的Rossby波反射、 Rossby波的Normal Mode
由于边界的存在，波动的波数不再是连续的 了，与前述离散的邦加莱波类似，此时的 Rossby波的波数也只能取离散的特定值。
Re ( y)e
i ( kxt )
考虑一个平行于x轴的宽度为L的通道。 引入边界条件：y=0，l时，v=0 ，代入动力 方程。
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频散关系
离散的邦加莱波 Kelvin波 惯性震荡 地转流
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离散的邦加莱波
n 2 2 1 2 n { f c0 (k 2 )} L
邦加莱波特点
其中R为Rossby变形半径=C0/f RK RK 1 短波： f 旋转的影响相对于重力的影响是次要的 长波： RK 1 f 惯性振荡，重力的影响是次要的
( )2 1 R2 K 2 f

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4 f=C（f平面）下水平有界等深流 体内的波动
k1
2 1 2 1
A2e il2 Y A1 eil1 Y 0
2 D

k l L
1 2
k1
2 2 2 k1 l2 L D
l2 l1 0
l2 l1 0
1 1 1
A2 A1e 2 il1Y
1
2 Re{ A1ei ( k x l y t ) e 2il Y }
2 2 2
此波特点是类似于无限平面等深浅水中的平面波， 亦是向正，反两个方向传播的，不同之处在于y方向 的波数l只是特定的值，l不可能任意取值，这恰恰 是由边界条件的特性决定波动的特性，只有特定频 率的波才满足一定的边界条件。此波也是Poincare 波，是一种特定条件下离散的Poincare波。
20
特殊的Kelvin波——赤道Kelvin波
Kelvin波作为一种边界波，需要边界的存在。 科氏参数f在赤道为0，形成了一种特殊的边 界，产生了赤道Kelvin波。
21
惯性振荡 和地转流
f
0
惯性震荡的解代入原式求解，解也为开尔文 波。 等深渠道中波解的完全谱包括Poincare波， kelvin波，地转流 。
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1 Rossby波的动力方程——准地 转位涡方程
2 f02 f f 2 2 0 0 ( ) 0 y hB t Hg H Hg x y y x 2 f f g y 2 0 hB 0 H Hg g J ( , g ) 0 t
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反射的示意图
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在能量图中的表现
40
反射波形成的Normal Mode
Incident wave K1 Cg Cg reflected wave K2向Normal Mode的推导
1 Re{ A1ei ( k x l y t ) }
x 1 1
1 2 | y Y 0
7
1 运动方程
u fv g t x
v fu g t y (uH0 ) (vH 0 ) 0 t x y
浅水中的线性化方程，非线性平流项已经去 掉，由上述方程组消去u，v，就可以得到水 位方程
8
水位方程
2 2 [( 2 f 2 ) (c0 )] gfJ ( H 0 , ) 0 t t