(2a)
2 H Z 1 H Z 1 2 H Z 2 H Z n 2 2 ( ) H Z 0 (2b) 2 2 2 r r r r z c
求解Ez 和Hz，通过麦克斯韦方程组导出电磁场横向分量Er、
Hr和Eφ、Hφ的表达式。
2.3 光纤传输的波动光学理论
为求解方程(4)，引入无量纲参数u, w和V。
u2=a2(n21k2 -β2) (0≤r≤a)
w2=a2(β2-n22k2)
V2=u2+w2=a2k2(n21-n22)
(r≥a)
(5)
2.3 光纤传输的波动光学理论
利用这些参数， 把式(4)分解为两个贝塞尔微分方程：
d 2 Ez (r ) 1 dEZ (r ) u 2 v 2 ( 2 2 ) EZ ( r ) 0 2 dr r dr a r
Ez2(r, φ, z) A
u、w：横向传输常数； β： (纵向)传输常数。
2.3 光纤传输的波动光学理论
二、特征方程 因为电磁场强度的切向分量在纤芯包层交界面连续，在 r=a处应该有： Ez1=Ez2 Eφ1=Eφ2 Hz1=Hz2 Hφ1=Hφ2 (8)
由Eφ和Hφ的边界条件导出β满足的特征方程为：



模式具有确定的相速群速和横场分布；
模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中 能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激 励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。
2.3 光纤传输的波动光学理论
2.3 光纤传输的波动光学理论
导模的传输条件：
两种重要传输模式：
该方程与式(5)定义的特征参数V联立，就可求得β值， 数值计算十分复杂，结果如图：
2.3 光纤传输的波动光学理论
n1 HE11 HM 01 1
/k
TE01
b HE31 EH12 HE41 TM 02 EH21
TE
02
EH11 HE21 0 1 2 3 V 4
n2
5
HE 22 0 6
若干低阶模式归一化传输常数随归一化频率变化的曲线
把式(3)代入式(2)得到:
2.3 光纤传输的波动光学理论
d 2 EZ ( r ) 1 dEZ ( r ) v2 2 2 2 ( n k 2 ) EZ ( r ) 0 2 dr r dr r
(4)
式中，k=2π/λ=2πf /c=ω/c，λ和f为光的波长和频率。 设纤芯(0≤r≤a)折射率n(r)=n1，包层(r≥a)折射率n(r)=n2，
(0≤r≤a) (6a) (r≥a) (6b)
d 2 E z (r ) 1 dEZ (r ) w2 v 2 ( 2 2 ) EZ ( r ) 0 2 dr r dr a r
式(6a)的解应取v阶贝塞尔函数Jv(ur/a)，而式(6b)的解则应取 v阶修正的贝塞尔函数Kv(wr/a)。 Jv(u)类似振幅衰减的正弦曲线，Kv(w)类似衰减的指数曲线。
设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为β，则Ez(z)应为 exp(-jβz)。 由于光纤的圆对称性，Ez(φ)应为方位角φ的周期函数， 设为exp( jvφ)，v为整数。 Ez(r)为未知函数，利用这些表达式，电场z分量可以写成: Ez(r,φ, z)=Ez(r)ej(vφ-βz) (3)
模式截止： k0 n2 模式远离截止： k0 n1 ，电磁场能够很好的束缚在纤芯中
2.3 光纤传输的波动光学理论
2.3 光纤传输的波动光学理论
2.3 光纤传输的波动光学理论
单模传输条件和截止波长
2.3 光纤传输的波动光学理论

阶跃折射率光纤的（只传HE11模）单模传输 条件：
0 V 2.405
2.3 光纤传输的波动光学理论
2.3 光纤传输的波动光学理论
2.3 光纤传输的波动光学理论
习题
1、均匀光纤，若n1=1.5，c 1.3 m ,计算： （1）若 0.25 ，为保证单模传输，纤 芯半径应取多大？ （2）若取a=5 m ,为保证单模传输, 应 取多大？ 2、什么是光纤的归一化频率？如何判断某 种模式能否在光纤中传输？
Ez1(r, φ,
J (ur / a) j ( v z ) A v e z) J v
J v (ur / a ) j ( v z ) B e Jv
(0<r≤a)
(0<r≤a) (r≥a) (r≥a)
(7a)
(7b) (7c) (7d)
Hz1(r, φ, z)=
K v ( wr / a ) j ( v z ) e kv ( w) K ( wr / a ) j ( v z ) e Hz2(r, φ, z) B v kv ( w)
2.3 光纤传输的波动光学理论
三、重要结论

模式：波导中允许存在的一种场结构形式，这种场结构形式 既满足麦氏方程组也满足电磁场的边界条件，它的传输常数 β和波导尺寸之间的关系由特征方程式给出。即每一个传输 常数对应着一种可能的光场分布。(一个模式由β唯一确定。)
每一个模式对应沿光波导轴向传播的一种电磁波； 每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件；
2.3 光纤传输的波动光学理论
低阶（v=0和v=1）模式和相应的V值范围
V值范围
低阶模式
0~2.405
2.405~3.832
HE11
HE21 TM01 TE01
3.832~5.520
5.520~7.016 7.016~8.654 8.E22 HE13 HE23 TM03 TE03 TM02 TE02
K v ( w) n12 J V (u ) KV ( w) 2 2 1 1 n12 1 1 [ ][ 2 ] ( ) v ( 2 2 )( 2 2 2 ) uJ v (u ) wK V ( w) n2 uJ v ( w) wK ( w) nK u w n2 u w J v' (u )
2
图所示。
包层n 2 r 纤芯n 1
x

z
y
2.3 光纤传输的波动光学理论
将式(1)在圆柱坐标中展开，得到电场的z分量Ez 、磁场的 z分量Hz的波动方程为：
2 EZ 1 EZ 1 2 EZ 2 EZ n 2 2 ( ) EZ 0 2 2 2 r r r r z c
2.3 光纤传输的波动光学理论
1.0
0.8
v=0 v=1 v=2 2 4 6 8 10 u
Jv(u)
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
4
(a)
v=1
kv(w)
3 2 1 0
1
2
(b) 3
4
5
w
（a)贝赛尔函数；（b)修正的贝赛尔函数
2.3 光纤传输的波动光学理论
在纤芯和包层的电场Ez(r, φ, z)和磁场Hz(r, φ, z)表达式为:
2.3 光纤传输的波动光学理论
2.3 光纤传输的波动光学理论
2.3 光纤传输的波动光学理论
2.3 光纤传输的波动光学理论
一、波动方程和电磁场表达式
n 2 (1a) E ( ) E 0 c n 2 2 (1b) H ( ) H 0 c 选用圆柱坐标(r，φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致，如