a 6Ｂ．Ｃ． Ｄ．６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（）Ａ． -⎛ 3 2 ⎤ ⎛3 ⎤ ⎛ 1 ⎤ ⎛3,- ⎥ Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ⎪ ⎦⎦Ａ． a - c > b - dＢ． a不等关系与基本不等式同步练习题（一）（时间：120 分钟 满分：150 分）A.基础卷一、选择题（5×8=40 分）1．函数 y = x +1( x > 2) 的最小值为(x - 2)A. 2B ． 3C ． 4D ． 3 22．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（）11 11A ． (-∞, )B ． (-∞,0)(0, )C ． ( ,+∞)D ． (0, )33 333．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( )A ． a + b > a - bB ． a + b < a + bC ． 2 ab ≤ a + bD ．b a+ ≥ 2a b4．已知无穷数列 {n}是各项均为正数的等差数列，则有（ ）Ａ． a 4 ≤ a6a a５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（）Ａ． a > ab > ab 2Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2Ｄ． ab > ab 2 > ax 2y - 1⎫⎝ 4 9⎦ ⎝ 4 ⎥⎝ 2 ⎥⎝ 4 ⎭７．若ab + 1 a + b< 1, 则 a 与 b 中必（ ）Ａ．一个大于１，一个小于１Ｂ．两个都大于１Ｃ．两个都小于１Ｄ．两个的积小于１8．已知 a > b , c > d , 则（ ）b >Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bddc9．若 a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式 a > > 0和ad < bc 都成立的一组值 (a, b , c, d )Ａ． (- 3,3)Ｂ． (- ∞,3)Ｃ． (- ∞,-3> Ｂ． a 2 > b 21 3二、填空题（5×4=20 分）cb d是．（只要写出适合条件的一组值即可）10．若不等式 x - 5 + x + 3 > t 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ．11．当 x > 0 时， y = x +4x 2的最小值为 ．12．不等式1 < 2 - x ≤ 7 的解集是．三、解答题（10×3=30 分）13．设 x ∈ R ，比较1与1 - x 的大小．x + 114．设 - 2 < a < 7, 1 < b < 2 ，求 a + b , a - b ,ab的范围．15．设 f ( x ) = x 2 - x + 1，实数 a 满足 x - a < 1 ．求证： f ( x ) - f (a) < 2( a + 1)B.提高卷一、选择题（5×4=20 分）1．若不等式 x + 1 - x - 2 > a 在x ∈ R 上有解，则实数 a 的取值范围是（）]2．若 a < b < 0 ，则下列不等关系中不能成立的是（）Ｄ． (- ∞,-3)Ａ． 1 1 1 1 Ｃ． a > b Ｄ． >a b a - b a3．设 a 、b 为正实数，且 a ≠ b ， n ∈ N * ，则 ab n + a n b - a n +1 - b n +1 的值的符号（）Ａ．恒为正Ｂ．与 a 、b 大小有关Ｃ．恒为负Ｄ．与 n 是奇数或偶数有关４．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,其中一条侧棱长为 1,另两条侧棱长的和为 4,则此三棱锥体积的最大值为()A. 2 1 1B.C.D.3 2 6二、填空题（5×2=10 分）５．若 a > 0, b > 0, c > 0, 且 a + b + c = 1 ，则 1 = x - 2 + + 2 ≥ 2 + 2 = 4 ,x (1 - 3x) > 0 等价于 ⎨ 解得不等式的解集为 (-∞,0) (0, ) .a1 1+ +1 - a 1 - b 1 - c的最小值是 ．６．不等式 x - 5 - 2x + 3 < 1的解集是．三、解答题（14+16=30 分）７．设 f ( x ) = ax 2 + bx ，且1 ≤ f (-1) ≤ 2, 2 ≤ f (1) ≤ 4 ，求 f (-2) 的取值范围．８．某单位建造一间地面面积为 12 m 2 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米1200 元，房屋侧面的造价为每平方米 800 元，屋顶的造价为 5800 元．如果墙高为 3 米，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？同步练习题答案详解A.基础卷一、选择题：1.Ｃ2.Ｂ3.Ｂ4.Ａ5.D6.Ｂ7.Ａ8.C答案提示：１．因为 x - 2 > 0 ,所以 y = x +当且仅当 x = 3 时,等号成立.1 1x - 2 x - 2２．不等式 ⎧x(1 - 3x) > 0 ⎧x(1 - 3x) < 0 或 ⎨ ， ⎩ x > 0 ⎩ x < 01 3３．由于 ab > 0 ，对于 A, a + b = a + b > a - b ，则 A 正确；对于 B, a + b = a + b ,则 B 不正确.４．因为数列 {n}是各项均为正数的等差数列，所以 a 2 = (6a + a 428 ) 2 ≥ a a （当且仅当 4 8公差为０时取等号），所以aa4 ≤6a a6 ．8５．因为 - 1 < b < 0 ⇒ b 2 < 1 ⇒ 0 > ab 2 > a 且 ab > 0 ，所以 ab > ab 2 > a ．0 ≤ < , 所以 - < ≤ 0 ．x2 即 x = 2 时取“＝”号，所以，当 x = 2 时， y当 x = 0 时， = 1 - x ；= 0 ，所以 - (1 - x) =< 0 ，所以 < 1 - x ；> 0 ，所以 > 1 - x ．６．因为 0 ≤ x 2 < 9, - 18 < y - 1 ≤ -12 ， 12 ≤ -( y - 1) < 18,1 1 1< ≤ ， 18 - ( y - 1) 12x 2 3 3 x 2- ( y - 1) 4 4 y - 1７．两边平方，整理得 (a 2 - 1)(b 2 - 1) < 0, 所以 a 与 b 中必有一个大于１，一个小于１．８．因为 a > b 所以 - b > -a ．又因为 c > d ，所以 c - b > d - a ．二、填空题：9. (2,1,-3,-2)10. (-∞,8)11. ３12. {3 < x ≤ 9或 - 5 ≤ x < 1}答案提示：９． 只需保证 a, b , c, d 的值满足 a, b 同号， c, d 同号且满足其他条件即可．10．由绝对值的几何意义可知 y = x - 5 + x + 3 的最小值为８，所以实数 t 的取值范围是(-∞,8) ．11． y = x + 4 x x 4 x x 4= + + ≥ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ = 3 ，x 2 2 2 x 2 2 2 x 2当且仅当 x 4= 2 x min = 3 ．12．由已知有1 < x - 2 ≤ 7 或 - 7 ≤ x - 2 < -1 ，解得 3 < x ≤ 9或 - 5 ≤ x < 1三、解答题：1 x2 13.解：因为，所以，x + 11 + xx 2 11 + x x + 1当1 + x < 0 即 x < -1 时，当1 + x > 0 即 x > -1 时， x 211 + x x + 1x 2 11 + x x + 114.解：由同向不等式相加得： - 1 < a + b < 9 ．因为 1 < b < 2 ，所以- 2 < -b < -1，同理得 - 4 < a - b < 6 ．<<1，当0≤a<7时,0≤<7;<<1，所以0<-<2，，又a<b<0，所以即1由1<b<2得112bab当-2<a<0时，0<-a<2，又11a2b b 所以-2<ab<0．综上，-2<ab<7．15.证明：因为所以f(x)=x2-x+1f(x)-f(a)=x2-x-a2+a=x-a x+a-1<x+a-1=(x-a)+2a-1≤x-a+2a-1<1+2a+1=2(a+1)所以f(x)-f(a)<2(a+1)B.提高卷一、选择题：1.B2.Ｄ3.Ｃ4.A答案提示：1.由绝对值的几何意义可知x∈R时，f(x)=x+1-x-2的取值范围为[-3,3]，故a要小于f(x)的最大值３．2.因为a<b<0，所以ab>0，由倒数法则有11>，Ａ正确；因为a<b<0，所以a>b a b和a2>b2均成立．对于Ｄ，因为11b b-=a-b a a(a-b)a(a-b)<0，1<，所以Ｄ不成立．a-b a３．ab n+a n b-a n+1-b n+1＝b n(a-b)+a n(b-a)=-(a-b)(a n-b n)．因为a、b为正实数，且a≠b，所以由乘方原理知a-b与a n-b n同号，(1 a 1 b 1 c) 23 3 3所以 ab na nb a n1b n 1 的值的符号恒为负．4．设其中一条侧棱长为 x ,则另一条侧棱长为 4x ,1 11 x 4 x 22Vx (4x) 1( )2 ,当且仅当 x 2 时, V 有最大值 ．3 26 2 33二、填空题：5.926.xx 7或x13答案提示：5. 因为 a0,b 0,c 0,且 a b c 1 ，所以 1 1 1 1 1 1 3 931 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 13，当且仅当1 a 1 b 1 c,即 ab c6. 原不等式等价于下列不等式组1 3时，上式取“＝”号．①x 5(x 5) (2x 3) 1或3x 5②2或 (x 5) (2x 3) 13x ③ 2(x 5) (2x 3) 1分别解①，②，③，再求并集得不等式的解集为 x x 7或x13三、解答题：7.解：设 f( 2)mf ( 1) nf(1)，则 4a 2b m (a b) n(ab) ，m n 4 m 3 即 4a 2b (m n)a(m n)b ，于是，得 ，解得，m n 2n 1所以 f( 2) 3 f( 1)f(1)．⋅ 0 = 3600( x + 16A ．Ｍ： ⎨⎧x> 1 Ｎ： ⎨ 1 Ｂ．Ｍ： ⎨ 1 Ｎ： ⎨ 1 3．在区间 ⎢ ,2⎥上,函数 f ( x ) = x 2 + bx + c (b , c ∈ R ) 与 g ( x) = 同的最小值,那么 f (x) 在区间 ⎢ ,2⎥ 上的最大值为( 2因为1 ≤ f (-1) ≤ 2, 2 ≤ f (1) ≤ 4 ，所以 5 ≤ 3 f (-1) + f (1) ≤ 10 ，故 5 ≤ f (-2) ≤ 10 ．8.解：设房屋正面长为 xm ，则房屋侧面的长为得12 xm ；设房屋的总造价为 y 元，根据题意y = 3x ⋅1200 + 3 ⋅ 12 57600⋅ 8 0 0 2 + 5 8 0 = 3600 x + + 5800x x16) + 5800 ≥ 3600 ⨯ 2 x ⋅ + 5800x x= 28800 + 5800 = 34600(元）当且仅当 x =16 ，即 x = 4 时，等号成立．x因此，当房屋正面的长为 4 m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是 34600 元．备选题：１．不等式 a + b < a + b ( a 、 b ∈ R ) 中等号成立的充要条件是（）A ． a 、b 中至少有一个为 0B ． ab ≥ 0Ｃ． ab ≤ 0Ｄ． a 、b 中仅有一个为 02．下列命题中，使命题 M 是命题 N 成立的充要条件的一组命题是（）⎧x + x > 3 ⎧x > 1 ⎧x + x > 31 2 2 ⎩x 2 > 2 ⎩x 1 x 2 > 2 ⎩x 2 > 2 ⎩( x 1 - 1)( x 2 - 2) > 0Ｃ．Ｍ： a > b , c > d ,Ｎ： ac > bd Ｄ．Ｍ： a - b = a + b ，Ｎ： ab = 0A. ⎡ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎦⎡ 1 ⎤ ⎣ ⎦13 5B.4C.8D.4 4)x 2 + x + 1 x在同一点取得相４．当点 ( x , y) 在直线 x + 3 y - 2 = 0 上移动时， 3 x + 27 y + 1 的最小值是()５．设 a > 0, b > 0 ,且不等式 1 + +≥ 0 恒成立,则实数 k 的最小值等于()mx + ny = -1 上,其中 mn > 0 ,则 3”2．由于 ⎨⎧x > 1 ⇔⎨ 1 ⇔ ⎨ 1 ⎩( x - 1)( x - 2) > 0 = x + + 1, x ∈ ⎢ ,2⎥ ,当 x = 1 时, g ( x) 取最小值 3,A.5B.1+ 2 2C.6D.71 kab a + bA. 0B. 4C.- 4 D. - 2６．已知 a > b > 0 ,则 a 2 + 16b (a - b )的最小值是 .７．一批救灾物资随 17 列火车以每小时V 千米的速度匀速直达 400 千米外的灾区为了安全起见,两辆火车的间距不得小于 (V20) 2 千米,问这批物资全部运达灾区最少需 小时.８ ． 已 知 函 数 y = log ( x - 2) + 1, (a > 0, a ≠ 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线a1 + 的最大值为.m n９．规定记号“ ⊗ 表示一种运算，即 a ⊗ b = ab - a - b (a, b 为正实数），若正数 x, y 满足x ⊗ y = 3 ，则 xy 的取值范围是.备选题答案：1．B ２.B ３．Ｂ ４．Ｄ ５．Ｃ6．167.８8． -16９． xy ≥ 9答案提示：１． a + b = a + b ⇔ a 2 + 2 a b + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ⇔ ab = ab ⇔ ab ≥ 0 ．⎧x - 1 > 0 1 ⎩x 2 > 2 ⎩x 2 - 2 > 0 ⎧x + x > 3 21 2，所以Ｂ正确．３． g ( x ) =x 2 + x + 1 1 ⎡ 1 ⎤ x x ⎣ 2 ⎦所以 f ( x ) = ( x - 1) 2 + 3, 故当 x = 2 时, f ( x ) 的最大值为 4.４． 因为 x + 3 y - 2 = 0 ,所以 3x + 27 y + 1 ≥ 2 3x ⋅ 33 y + 1 = 2 3x +3 y + 1 = 7 ,当且仅当 x = 3 y = 1 时,等号成立.1 1 k５．由 + + a b a + b≥ 0 得 k ≥ - (a + b ) 2 (a + b ) 2 b a ，而 = + + 2 ≥ 4 ，所以ab ab a b- ≤ -4 ，因此只需 k ≥ -4 ，即实数 k 的最小值等于 - 4 .1 = 400 + 16V ≥2 400 16V = 8, 20所以 + 最大值为 -16.(a + b ) 2 ab6．因为 b + (a - b ) ≥ 2 b (a - b ) ,所以 b (a - b ) ≤ 1 1(b + a - b ) 2 = a 2 .4 4所以 a 2 + 16 16 64 ≥ a 2 + = a 2 +b (a - b ) a 2a 2 4≥ 16 .7.因为 t = V400 + 16 ⋅ ( ) 2 ⋅V V 400 V 400当且仅当 400 16V =V 400即 V = 100 时等号成立.８．函数图象恒过定点 (3,1) ,所以 3m + n + 1 = 0 .因为 mn > 0 ,所以 m < 0, n < 0 ,3 1 31 3m 3n+ = ( + )(-3m - n) = -10 - - ≤ -10 - 6 = -16 , m n m n n m3 1m n９． 由题意,得 xy - x - y = 3 ,所以 xy = x + y + 3 ≥ 2 xy + 3 ,即xy - 2 xy - 3 ≥ 0, 则 xy ≥ 3, xy ≤ -1 (舍),所以 xy ≥ 9 .。