不等关系与基本不等式同步练习题（一）（时间：120分钟 满分：150分）A.基础卷一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(21>-+=x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ）A ．)31,(-∞B ． )31,0()0,( -∞C ． ),31(+∞D ．)31,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( )A ．b a b a ->+B ．b a b a +<+C ．b a ab +≤2D ． 2≥+baa b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ．8664a a a a ≤Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-<b a ，则2,,ab ab a 的大小关系是（ ）Ａ．2ab ab a >> Ｂ．a ab ab >>2Ｃ．2ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则12-y x 的取值范围是（ ）Ａ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--92,43 Ｂ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,43 Ｃ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,21 Ｄ．⎪⎭⎫⎝⎛-0,43 ７．若,11<++ba ab 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,dc b a >>则（ ） Ａ．d b c a ->- Ｂ．cbd a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac >二、填空题（5×4=20分）9．若d c b a 、、、均为实数，使不等式bc ad dcb a <>>和0都成立的一组值),,,(dc b a 是 ．（只要写出适合条件的一组值即可）10．若不等式t x x >++-35恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 11．当0>x 时，24x x y +=的最小值为 ． 12．不等式721≤-<x 的解集是 ． 三、解答题（10×3=30分） 13．设R x ∈，比较11+x 与x -1的大小． 14．设21 ,72<<<<-b a ，求bab a b a , ,-+的范围． 15．设1)(2+-=x x x f ，实数a 满足1<-a x ．求证：)1(2)()(+<-a a f x fB.提高卷一、选择题（5×4=20分）1．若不等式R x a x x ∈>--+在21上有解，则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．()3,3- Ｂ．()3,∞- Ｃ．(]3,-∞- Ｄ．()3,-∞- 2．若0<<b a ，则下列不等关系中不能成立的是（ ） Ａ．b a 11> Ｂ．22b a > Ｃ．b a > Ｄ． ab a 11>- 3．设b a 、为正实数，且b a ≠，*∈N n ，则11++--+n n nnb ab a ab 的值的符号（ ）Ａ．恒为正 Ｂ．与b a 、大小有关 Ｃ．恒为负 Ｄ．与n 是奇数或偶数有关４．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,其中一条侧棱长为1,另两条侧棱长的和为4,则此三棱锥体积的最大值为( ) A.32 B. 31 C. 21 D. 61二、填空题（5×2=10分）５．若,0,0,0>>>c b a 且1=++c b a ，则cb a -+-+-111111的最小值是 ． ６．不等式1325<+--x x 的解集是 ． 三、解答题（14+16=30分）７．设bx ax x f +=2)(，且4)1(2 ,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值范围．８．某单位建造一间地面面积为122m 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米1200元，房屋侧面的造价为每平方米800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？同步练习题答案详解A.基础卷一、选择题：1.Ｃ2.Ｂ3.Ｂ4.Ａ5.D6.Ｂ7.Ａ8.C 答案提示：１．因为02>-x ,所以422221221=+≥+-+-=-+=x x x x y , 当且仅当3=x 时,等号成立. ２．不等式0)31(>-x x 等价于⎩⎨⎧>>-00)31(x x x 或⎩⎨⎧<<-00)31(x x x ，解得不等式的解集为 )31,0()0,( -∞.３．由于0>ab ，对于A, b a b a b a ->+=+，则A 正确；对于B, b a b a +=+,则B 不正确.４．因为数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以 8428426)2(a a a a a ≥+=（当且仅当公差为０时取等号），所以8664a a a a ≤． ５．因为a ab b b >>⇒<⇒<<-220101且0>ab ，所以a ab ab >>2．６．因为12118 ,902-≤-<-<≤y x ， 121)1(1181,18)1(12≤--<<--≤y y ， ,43)1(02<--≤y x 所以01432≤-<-y x ．７．两边平方，整理得,0)1)(1(22<--b a 所以b a 与中必有一个大于１，一个小于１．８．因为b a >所以a b ->-．又因为d c >，所以a d b c ->-． 二、填空题：9. )2,3,1,2(-- 10. )8,(-∞ 11. ３ 12. {}1593<≤-≤<x x x 或 答案提示：９． 只需保证d c b a ,,,的值满足b a ,同号，d c ,同号且满足其他条件即可．10．由绝对值的几何意义可知35++-=x x y 的最小值为８，所以实数t 的取值范围是)8,(-∞．11．3422342243222=⋅⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y ，当且仅当242xx =即2=x 时取“＝”号，所以，当2=x 时，3min =y ． 12．由已知有721≤-<x 或127-<-≤-x ，解得1593<≤-≤<x x 或 三、解答题：13.解：因为xx x x +=--+1)1(112，所以， 当0=x 时，012=+x x ，所以x x -=+111； 当01<+x 即1-<x 时，012<+x x ，所以x x -<+111； 当01>+x 即1->x 时，012>+x x ，所以x x ->+111． 14.解：由同向不等式相加得：91<+<-b a ．因为21 <<b ，所以 12-<-<-b ，同理得64<-<-b a ．由21 <<b 得1121<<b， 当;7b0 , 70<≤<≤aa 时当02<<-a 时，20<-<a ，又1121<<b ，所以20<-<ba， 所以02<<-ba． 综上，72<<-ba． 15.证明：因为1)(2+-=x x x f所以1)()(22-+-=+--=-a x a x a a x x a f x f1-+<a x1212)(-+-≤-+-=a a x a a x )1(2121+=++<a a 所以)1(2)()(+<-a a f x fB. 提高卷一、选择题：1.B2.Ｄ3.Ｃ4.A 答案提示：1. 由绝对值的几何意义可知R x ∈时，21)(--+=x x x f 的取值范围为[]3,3-，故a 要小于)(x f 的最大值３．2. 因为0<<b a ，所以0>ab ，由倒数法则有ba 11>，Ａ正确；因为0<<b a ，所以b a >和22b a >均成立．对于Ｄ，因为)(11b a a b a b a -=--，又0<<b a ，所以0)(<-b a a b，即ab a 11<-，所以Ｄ不成立． ３．11++--+n n nnb a b a ab ＝))(()()(n n n n b a b a a b a b a b ---=-+-．因为b a 、为正实数，且b a ≠，所以由乘方原理知nnb a b a --与同号，所以11++--+n n nnb a b a ab 的值的符号恒为负．4．设其中一条侧棱长为x ,则另一条侧棱长为x -4,,32)24(611)4(21312=-+≤⋅-⋅⋅⋅=x x x x V 当且仅当2=x 时, V 有最大值32．二、填空题： 5.296. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或答案提示：5. 因为,0,0,0>>>c b a 且1=++c b a ， 所以c b a -+-+-11111129)111(3131111113333=-+-+-≥-⋅-⋅-⋅≥c b a c b a ， 当且仅当,111c b a -=-=-即31===c b a 时，上式取“＝”号． 6. 原不等式等价于下列不等式组①⎩⎨⎧<+-->1)32()5(5x x x 或②⎪⎩⎪⎨⎧<+---≤≤-1)32()5(523x x x 或③⎪⎩⎪⎨⎧<++---<1)32()5(23x x x 分别解①，②，③，再求并集得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或三、解答题：7.解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则 )()(24b a n b a m b a ++-=-，即b n m a n m b a )()(24--+=-，于是，得⎩⎨⎧=-=+24n m n m ，解得⎩⎨⎧==13n m ，所以)1()1(3)2(f f f +-=-．因为4)1(2 ,2)1(1≤≤≤-≤f f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ， 故10)2(5≤-≤f ．8.解：设房屋正面长为xm ，则房屋侧面的长为m x12；设房屋的总造价为y 元，根据题意得5800280012312003+⋅⋅⋅+⋅=x x y 5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x 元）(34600580028800=+= 当且仅当xx 16=，即4=x 时，等号成立． 因此，当房屋正面的长为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．备选题：１．不等式)(R b a b a b a ∈+<+、中等号成立的充要条件是（ ） A ．b a 、中至少有一个为0 B ．0≥abＣ．0≤ab Ｄ．b a 、中仅有一个为0 2．下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是（ ） A ．Ｍ：⎩⎨⎧>>2121x x Ｎ：⎩⎨⎧>>+232121x x x x Ｂ．Ｍ：⎩⎨⎧>>2121x x Ｎ：⎩⎨⎧>-->+0)2)(1(32121x x x xＣ．Ｍ：,,d c b a >> Ｎ：bd ac > Ｄ．Ｍ：b a b a +=-，Ｎ：0=ab3．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上,函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=与x x x x g 1)(2++=在同一点取得相同的最小值,那么)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值为( )A.413 B.4 C.8 D. 45４．当点),(y x 在直线023=-+y x 上移动时，1273++yx的最小值是( )A.5B.1+22C.6D.7 ５．设0,0>>b a ,且不等式011≥+++ba kb a 恒成立,则实数k 的最小值等于( ) A. 0 B. 4 C. 4- D. 2-６．已知0>>b a ,则)(162b a b a -+的最小值是 .７．一批救灾物资随17列火车以每小时V 千米的速度匀速直达400千米外的灾区为了安全起见,两辆火车的间距不得小于2)20(V 千米,问这批物资全部运达灾区最少需 小时. ８．已知函数)1,0(,1)2(log ≠>+-=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线1-=+ny mx 上,其中0>mn ,则nm 13+的最大值为 . ９．规定记号“⊗”表示一种运算，即b a b a ab b a ,(--=⊗为正实数），若正数y x ,满足3=⊗y x ，则xy 的取值范围是 .备选题答案：1．B ２.B ３．Ｂ ４．Ｄ ５．Ｃ 6．16 7.８ 8．16- ９．9≥xy 答案提示：１．0222222≥⇔=⇔++=++⇔+=+ab ab ab b ab a b ab a b a b a ．2．由于⇔⎩⎨⎧>->-⇔⎩⎨⎧>>0201212121x x x x ⎩⎨⎧>-->+0)2)(1(32121x x x x ，所以Ｂ正确． ３．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++=++=2,21 ,111)(2x x x x x x x g ,当1=x 时, )(x g 取最小值3, 所以,3)1()(2+-=x x f 故当2=x 时, )(x f 的最大值为4.４． 因为023=-+y x ,所以71321332127333=+=+⋅≥+++y x y x y x , 当且仅当13==y x 时,等号成立.５．由011≥+++ba kb a 得ab b a k 2)(+-≥，而42)(2≥++=+b a a b ab b a ，所以4)(2-≤+-abb a ，因此只需4-≥k ，即实数k 的最小值等于4-.6．因为)(2)(b a b b a b -≥-+,所以2241)(41)(a b a b b a b =-+≤-. 所以16644116)(1622222≥+=+≥-+a a a ab a b a .7.因为,840016400240016400)20(164002=⋅≥+=⋅+=V V V V V Vt 当且仅当40016400VV =即100=V 时等号成立. ８．函数图象恒过定点)1,3(,所以013=++n m . 因为0>mn ,所以0,0<<n m ,166103310)3)(13(13-=--≤---=--+=+mn n m n m n m n m , 所以nm 13+最大值为16-.９． 由题意,得3=--y x xy ,所以323+≥++=xy y x xy ,即,032≥--xy xy 则1,3-≤≥xy xy (舍),所以9≥xy .。