函数的基本性质【教学目标】【教学重点】函数的基本性质及应用【教学难点】函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。

【教学过程】：一．知识整理1．基本思想（1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。

（2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。

2.主要问题：（1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩（2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义（3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元f.数形结合（4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域3.函数的基本性质函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的相等：定义域相同，对应法则相同函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D}a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x)为奇函数；判断准则：1.定义域关于原点对称，2.偶奇 );x (f )x (f );x (f )x (f =--=-奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称d.单调性：存在定义域的子集M ，对于M 内的任意两个值时，总有当2121x x ,x ,x < ）成立（或)x (f )x (f )x (f )x (f 2121><，则称函数f(x)在集合M 上单调递增 （或递减）。

e.最值：定义域内的函数值的最大（小）值。

亦即函数图象上最高（低）点的纵坐标。

f.周期性：对于函数y =f (x ),若存在一个常数T ≠0，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x+T )=f (x )成立，则称f (x )为周期函数，常数T 叫做f (x )的周期。

4.基本函数：常数函数；正比例函数；反比例函；数一次函数；二次函数；xbax y += 5.函数构成在基本函数的基础上：(a) 运算：以和、差、商、积函数为代表，如：xb ax y += (b) 复合：y = f (g (x ))二．例题精析【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，易，逻辑思维能力。

【题目】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 。

【解答】答案为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21。

由012>+x ，得21->x ，所以函数的单调增区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21。

要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，中，分析问题与解决问题能力。

【题目】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 【解答】2()(2)f x x x=≥单调递减且值域为(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）。

【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，分析问题与解决问题能力。

【题目】设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【解答】 （1）若(0)1f ≥，则20||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩综上22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ （3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-当22a a ≤-≥时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；当22a -<<>0,得：(0x x x a⎧⎪≥⎨⎪>⎩讨论得：当(2a ∈时，解集为(,)a +∞;当(2a ∈-时，解集为(,[)33a a a +⋃+∞;当[,22a ∈-时，解集为)+∞. 【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解决问题能力。

【题目】有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关。

（1） 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133]。

当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

【解答】（1）当0.47(1)()(3)(4)x f x f x x x ≥+-=--时，而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)x x -->0……..3分 故(1)()f x f x +-单调递减∴当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降……………..6分（2）由题意可知0.1+15ln 6aa -=0.85……………….9分 整理得0.056ae a =- 解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1e a e =⋅=⨯=∈-…….13分 由此可知，该学科是乙学科……………..14分【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难，数学探究与创新能力。

【题目】已知函数()y f x =的反函数。

定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y fx a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”。

（1） 判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。

求()y f x =的表达式。

【解答】（1）函数2()1(0)g x x x =+>的反函数是1()1)g x x -=>1(1)0)g x x -∴+=>而2(1)(1)1(1),g x x x +=++>-其反函数为1(1)y x =>故函数2()1(0)g x x x =+>不满足“1和性质”（2）设函数()()f x kx b x R =+∈满足“2和性质”，0.k ≠112()(),(2)x b x bf x x R f x k k---+-∴=∈∴+=…….6分 而(2)(2)(),f x k x b x R +=++∈得反函数2x b ky k--=………….8分由“2和性质”定义可知2x b k +-=2x b kk--对x R ∈恒成立 1,,k b R ∴=-∈即所求一次函数为()()f x x b b R =-+∈………..10分（3）设0a >，00x >，且点00(,)x y 在()y f ax =图像上，则00(,)y x 在函数1()y f ax -=图象上， 00()f ax y =，可得000()()ay f x af ax ==， ．．．．．．12分 故100()f ay x -=，令0ax x =，则0x a x =。

∴00()()xf x f x x =，即00()()x f x f x x =。

．．．．．．14分综上所述，111n n b q b -==()(0)k f x k x =≠，此时()k f ax ax =，其反函数就是ky ax=， 而1()k fax ax-=，故()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数 。

．．．．．．16分 三．课堂反馈【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，易，分析问题与解决问题能力。

【题目】函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( ).【解答】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，中，分析问题与解决问题能力。

D【题目】.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解答】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的图像、对称性、周期性，选择题，中，分析问题能力。