初三数学培优之一元二次方程的整数根
阅读与思考
解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..
解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解
若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式
在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系
由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.
4．巧选主元
若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.
例题与求解
【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2
=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题）
解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.
【例2】 q p ,为质数且是方程0132
=+-m x x 的根，那么
q
p
p q +的值是（ ）
A ．22121
B ．22123
C ．22125
D ．22
127
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系
【例3】 关于y x ,的方程2922
2=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组
解题思路：把2922
2
=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.
【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2
=-+++r x r rx 有根且只有整数根.
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.
【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.
（全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2
，即
0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.
【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22
=-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.
能力训练
A 级
1．已知方程019992
=+-a x x 有两个质数根，则._______=a (江苏省竞赛题) 2．已知一元二次方程012
=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m
(四川省竞赛题)
3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和054442
2=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________
4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2
=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk
k p k +的值等
于______________.
5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212
=+-t x x 的两个根，则
b
a
a b +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．38
365
6．若062
=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．以上结论都不对 7．方程019972
=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)
1)(1(21++x x p
的值是（
）
A ．1
B ．1-
C ．2
1-
D ．21
（北京市竞赛试题）
8．若b a ,都是整数，方程020082
=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（
）
（太原市竞赛试题）
A ．100
B ．400
C ．700
D ．1000
9．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2
=-+++k x k kx 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）
10．已知关于x 的方程23842
=--n nx x 和022)3(2
2
=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一
个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）
11．若关于x 的方程0)2()3(22
=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.
（上海市竞赛试题）
12．已知q p ,为整数，且是关于x 的方程016)(4
15
91122
=++++-q p x p x 的两个根，求q p ,的值. （全国初中数学联赛试题）
B 级
1．已知96=+q p ，并且二次方程02
=++q px x 的根都是整数，则其最大根是___________. 2．若关于x 的二次方程062
=++a ax x 只有整数根，则_________=a . （美国数学邀请赛试题） 3．若关于x 的方程054)15117()9)(6(2
=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_________个.
4．使方程0712
22=-++a ax x a 的两根都是整数的所有正数a 的和是______________.
（上海市竞赛题）
5．已知方程015132)83(22
2
2
=+-+--a a x a a x a （其中a 为非零实数）至少有一个整数根，那么_________=a . （全国初中数学联赛试题） 6．设方程03)6(2
=-+++m x m x 有两个不同的奇数根，则整数m 的值为____________
（《学习报》公开赛试题）
7．若1≠ab ，且有09200152
=++a a 及05200192
=++b b ，则
b
a
的值为（ ） A ．59 B ．95 C ．52001- D ．9
2001
-
8．若方程0232
=+++m x x 有一个正跟1x ，和一个负根2x ，由以21,x x 为根的二次方程为（ ） A ．0232=---m x x B ．0232
=--+m x x C ．02412
=----m x m x D ．02412
=++--m x m x
9．设关于x 的二次方程4)462()86(2
222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.
（全国初中数学联赛试题）
10．当x 为何有理数时，22392
-+x x 恰为两个连续的正偶数的乘积？
（山东省竞赛题）
11．是否存在质数q p ,使得关于x 的一元二次方程02
=+-p qx px 有有理数根？
（全国初中数学竞赛试题）
12．已知关于y x ,的方程组⎩⎨
⎧++-==-++bc
x a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b
（1）求a 的值；
（2）求k 的值及它对的y x ,的值.。