22
New Estimation
A"
ys
A
B
e 22 ( x1 )
K eff ( x1 a)
aeff ( x1 a ) 2 2aeff ( x1 a )
rpnew _4
a
C

o
a
a a
o
x1
2 ys a (a a ) 2 2 ys
1 ij ui , j u j .i 2
扔掉K场？还是在一定范围内使用K场？
※K 场的适用范围 1. 不能太远离裂尖，是裂尖渐近场，构件边界会影响 K 场的 预测范围。 K 主导区由单参数 K 控制，尺度 rK 0.3 ~ 0.5a（构型尺 寸相对于裂纹很大时 寸相当时？） 说明讨论—试件尺寸与裂纹尺
Von－Mises 屈服条件 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 s 2 将 K 场的应力分布代入上 式，便可估算塑性区的形状
【习题 4-1】 平面应力塑性区最大，而平面应变泊桑比 越大，塑性区就越小，
为什么？
重新审视裂尖塑性区的估算的假设 1. K 场可一直延续到弹塑性边界（无过渡区） ； 2. 忽略裂尖材料屈服后对塑性区外 K 场的影响；？？？ 3. 材料为理想弹塑性，且遵循 Von－Mises 屈服条件。
当 a 趋向于零时， ys ，无缺陷固体会破坏，更合理。
Irwin模型塑性区尺寸估计的改进
小结
Jia, Y. J., Shi, M. X., Zhao, Y., and Liu, B., J. Appl. Mech-T. ASME, (2013).
21
※实际塑性区形状
为什么实际塑性区要比简 单理论模型预测的塑性区 大？
小范围屈服时
Plastic Zone Size / a
0.3
New estamations
rpnew
r
r
r
Irwin p _1
2 a 2 2 ys
2 2 a 2rpIrwin _1 ys
2 2 a 2 2 2 ys
rpIrwin _3
I ta r w i m n' at s io ns
第四章 弹塑性断裂力学之小范围屈服理论 ——对线弹性场的简单修正 4.1 背景 ※线弹性场的理论缺陷

8 8 8
应力集中系数判据和应力强度因子判据的矛盾
为什么有这样的矛盾？



8
应力集中系数判据和应力强度因子判据的矛盾，原因来自两点 假设： 1 连续性假设：认为材料可以在无限小的尺度内变形都可以不 均匀
改进模型 放弃近似一：用裂尖应力场精确解代替渐近解
近似解
精确解
含中心裂纹的线弹性无穷大板裂尖应力场精确解：
e0 22 ( x1 )
K I ( x1 a)
a x12 2ax1
e0 显然， 22 x
1
15
Irwin模型塑性区尺寸估计的改进
改进模型 放弃近似二：松弛后的弹性区分布不是简单的平移得到 而是裂纹长度为 a a 的裂尖应力场精确解
对于弹塑性断裂本应该解一个准确的弹 塑性问题，但是之前的简化处理得到的 场并不能满足所有的定解条件， 如不满足力平衡条件
※Irwin 应力修正 与远场力平衡要求 S ABC S ABC
R ys 22 x1 ,0 dx1
rys 弹 0
1 KI R 2rys ys 【习题
从外载的角度来讲，一般小范围屈服（SSY）仅在 P 0.5P0 时成立，P0 是裂纹体达到全面屈服的载荷， 对理想弹塑性材料， P0 就是极限载荷。

8
4.2 对小范围屈服情况下裂尖塑性区的估算
基于如下假设： 1. K 场可一直延续到弹塑性边界（无过渡区） ； 2. 忽略裂尖材料屈服后对塑性区外 K 场的影响； 3. 材料为理想弹塑性，且遵循 Von－Mises 屈服条件。
2. 也不能太靠近裂尖，塑性屈服
K 主导区尺度 rK 与外加载荷幅值无关，只与裂纹几何有关 为什么？
而塑性区尺度 rP 却随外载增加而增加，为什么？
为了在某些情况下能继续通过修正来使用 K 场（单参数， 简单的解析解） ，我们要求 小范围屈服（ SSY ＝ Small Scale Yielding） 塑性区尺度 rP rK 0.3 ~ 0.5a （构型尺寸相对于裂纹很大时）
由屈服条件：
e 22
ys
r
new p
16
Irwin模型塑性区尺寸估计的改进
改进模型

22
ys
o
2a
e 22 ( x1 )

r
new p
x1
不同于近似三： 裂纹面应力与远场作用的外力平衡：
( ys )r
new p
e new ( 22 ( x1 ) )dx1 a rp
Irwin模型塑性区尺寸估计的改进
Irwin模型估计 Irwin采用的近似一：
e 22 ( x1 )
e 22 ys (1) 由屈服条件：
KI 2 x1
塑性区尺寸的第一次估计：rp _1
Irwin
2 a 2 2 ys
rp1
Irwin采用的近似二：应力分布近似平移
线弹性理论的适用范围？ 2 线性假设 本章着重讨论放弃线性假设的修正。
8
8
※线弹性理论的适用范围：
i 平衡方程： ij, j f i u
1． 材料的本构是线性 本构方程（各向同性线弹性） ： ij kk 2 ij 2． 结构小变形以保证几何关系呈线性 几何方程：
Irwin
2 2 a 2rpIrwin _1 ys
2 1 1 ys 2
0.5
a
ys
三个估计都趋近于常数
修正的塑性区尺寸：r
Irwin p_3
2 2 a 2 2 2 ys
14
Irwin模型塑性区尺寸估计的改进
内聚力与张开位移的关系

L 为未知量，在 x1 L 处有两个定解条件： 1 裂纹张开位移为零 2 应力强度因子为零
※具体求解步骤（以 Dugdale 模型为例）
ys
最简单的内 聚力模型！
*
B C D K K K 要求 I I I 0
ys
*
K a an
2 2 a 2 2 2 ys
Irwin p_2
Irwin p_3
r
new p
2 2 a 2 ys
改进模型预测了无穷大的塑性区尺寸 与模拟结果和Dugdale模型趋势一致
18
Irwin模型塑性区尺寸估计的改进
与数值结果对比
0.4 FEM Simulations
2
4.2 节小结 1. 本节讨论的是小范围塑性屈服的情形， 这样 K 场对于塑性区外还可 以应用。而且以 K 为指标的断裂准则在修正以后仍适用。 2. 考虑到线弹性裂尖场在裂尖应力趋于无穷大，不符合物理实际，如 果对于延性材料，作为一阶近似可以将超过 ys 的裂尖应力简单抹平 （最简单最粗糙的近似） 。为了裂纹延长面上应力与远场应力平衡， Irwin 修正使该模型精致一些。我们发展的模型更加准确 3. 真实的塑性区（通过有限元计算）要比该简单理论模型预测的塑性 区大。平面应力的塑性区要比平面应面的塑性区大。 4. 当 用 实 验 手 段 测 量 K IC 时 ， 小 范 围 屈 服 条 件 需 满 足


L h2 x1 ,0 , L L2 x12





x1 0, l
L
K I 2 x1 h2 x1 ,0 , L dx1 2
L 0




l
x1 dx1
L2 x12
a
同时得到两端的应力强度因子，考虑对称性。
如何确定位移场？D 的解很简单，C 场的解可以采用叠加原理得到。

2 新的裂尖 rpnew 2 2 a 塑性区尺寸估计： ys
ys , rpnew
17
Irwin模型塑性区尺寸估计的改进
与数值结果对比
ys
r
r
r
Irwin p _1
2 a 2 2 ys
2 2 a 2rpIrwin _1 ys
2
KI a, c, B 2.5 s
， 在利用 K 应力场的理论分析中， 该条件也需满足。
4.3 Dugdale－Barenblatt 带状屈服模型—另一种简化理论模 型 ※在实际对裂尖塑性区的观测中，不是所有的塑性区都呈扩散 型。
※平面应变和平面应力的裂尖塑性滑移模式
2
4-2】
等效裂纹长度 aeff a rys 等效裂纹的尖端在屈服区的中点
对含半长为 a 中心裂纹的无穷大板，若无穷远处 22 值为 ， 则可用 Irwin 修正算出应力强度因子为
1 K I 1 2 ys
若代入破坏准则
19
Irwin
1 K IC K I 1 a 2 ys 当 a 趋向于零时， 2 ys ，无缺陷固体才会破坏。
我们的模型
1 2 2
K IC Keff
ys
2 2 ys
a
0.2
Irwin p_2
rpIrwin _2
Irwin p_3
es