E' / L


u2
2 如果以(b) 为应变能零状态,要求解u (c) 状态能量,先转 换成求(d)状态能量
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？
若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理

通过计算做功来计算 能量差异

E' / L


u2 u2
e
外势能（外力势）
G
1 B a
P
Anderson 教材（2.26-） 系统位移边界固定： Ue
G 1 B a

1 U e B a

P 固定情形： Ue P ， Ue P / 2 ， Ue ，
G 1 B a
E' / L

为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?
u2 u2



E' / L
ห้องสมุดไป่ตู้
自杨卫书


如何检查叠加是否正确？

E' / L


2
线性系统（线弹性、小变形、小转动） u 检查以下等式是否都满足
( c ) (b ) ( d ) ， ( c ) (b ) ( d )
材料常数？
塑性 区
F
F
1． 塑性变形仅局限于裂纹尖端（即塑性区尺寸远小 a 或其他 特征长度尺寸） 2． 裂纹扩展所释放的机械能大部分消耗于裂纹尖端的塑性变 形功 3． 塑性功的大小足以表征材料的断裂性能
一些讨论 什么是表面能？ 裂纹长度 a 是单调增的！？ 怎么理解能量释放率 G 与加载方式无关（广义构型力，能量 平衡） Legendre 变换和状态函数的选择 存在一个特征尺度，尺寸效应
W dU d 0
e
GBda W dU e d
d da ，B:试件厚度 da
断裂的驱动力
断裂阻力
断裂是一个材料生成新表面的过程！
GBda W dU e d d da da
阻力：表面能 d 2daB 单位面积表面能，或表面张力 驱动力：
GBda W dU e
G:裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。
d GBda W dU d da da
e
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子， 在断裂过程中没有系统和外 界功的交换，即 W 0
一个例子:Griffith 脆断理论(1920，1924)
第二章 能量平衡方法
能量守恒（热力学第一定律）
系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况 下的发展方向 ◎ 热能区别于其他能量形式 ◎ 很多能量都最终耗散转化为热能 ◎ 事实上系统演化是一个熵增的过程
※断裂过程中的能量平衡及转化——Griffith理论
1 U e 2 B a

材料对裂纹临界扩展的抗力： Gc 2 （理想脆断） A
Griffith 起裂准则：
不起裂 G Gc 临界状态
（针对平衡态静止裂纹）
失稳扩展 G Gc 随遇平衡 裂纹扩展稳定性条件： a a 稳定裂纹 更准确的应该是？
Gc 随 a 的变化称为材料的断裂阻力曲线
U e G 能量释放率： A 1 U e 2 B a
为什么是2，与前面不同?哪个公 式更普适？


单边裂纹vs双边
2 A 代表面积， G 的量纲为 N / m ，是广义能量力， G E a A 是裂纹的投影面积，是新增表面积的一半
能量释放率：
G
U e A


d da da
对于这种位移固定加载的系统，
d U e d 裂纹扩展的临界状态对应于 da da d U e d 裂纹扩展需满足 da da ， 即 d U e 0 da
对于这种位移固定加载的系统，可以用 总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue 作为状态函数来确定系统演化的方向，系统朝总能量减小方向演 化。
※裂纹扩展的稳定性讨论
2 G P 2 d 2C 2 dC 2 a T 2 B da C CM da 【题 2-4】 失稳扩展 2 2 d C 2 dC 2 B Gc 随遇平衡 2 2 da C CM da P a 稳定裂纹
考察一个断裂过程中的能量平衡 W dU e d dUT Q (*) W ：外界对系统做的功 dU e ：系统的弹性应变能增加 d ：系统新增表面能 dUT Q ：断裂过程中系统产生的热 dU T 是系统内部热能增加， Q 传出系统 的热量。
T 热力学第二定律要求 dU Q 0 ，由(*)式得
u( c ) u ( b ) u ( d ) ， t ( c ) t (b ) t ( d ) ，
u2
f ( c ) f (b) f ( d )
其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？ 若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理
e U 计算弹性应变能 （有限板情形） ，采用叠加原理
d 【题 2-5】利用 GBda W dU d da da ，设
e
CM 0
（ i） （ii）
G 推导 P 给定时的 G 和 a P ；
以上都是针对给定位移 或载荷 P 的特
殊情况，一般情况下，如果已知 Pa ，
G 求 G 和 a ；
（iii） *以上推导都是针对线弹性情况的，即柔度 C 只是裂纹长度 a 的函数， 若对于非线性弹性， 则可以假设切线柔度与载荷有关， 如果我们已知
a 2E
载荷与裂纹几何参数组合 纯粹的材料参数组合

Y
载荷参数
纯粹的材料参数组合
相似性？
位移固定边界下裂纹扩展的临界状态： d U e 0 da dU e d
da da
裂纹扩展的驱动力＝裂纹扩展的阻力 随裂纹扩展释放的应变能＝生成新表面需要能量
e GBda W dU d 最一般情形：
外势能（外力势） 杨卫教材
G
1 B a
P
1 U e 系统位移边界固定： ， B a （1.10） 1 G Ue w Ue （1.17） B a （1.18） G
P 固定情形：
整个加载系统的总弹性能为
U
total e 2 1 1 T PT 2 2 C a CM
能量释放率：
U etotal 1 U etotal P 2 dC G A B a 2 B da T T
与加载方式（即 C M ）无关！
最一般形式
GBda W dU e d
d da da
对于这种位移固定加载的系统，可以用 总能量＝表面能＋弹性应变能＝ Ue 作为状态函数来确定系统演化的方向， 系统朝总能量减小方向演 化。
【题2-3】固定力加载时，是否有对应的状态函数来确定演化 方向？
※一些讨论
2 E 临界裂纹长度 acr 2 =>
Ue P （1.34）
G 1 B a P （1.38）
我的讲述：
d 最一般情形： GBda W dU d da da 。 系统位移边界固定：与外界无能量交换，弹性应变内能 U e 是 1 U e G 合适的状态函数来描述系统演化过程， B a P 固定情形， 采用总势能 Ue P ， 可视为将 U e 做 Legendre 变换而得到， 是描述系统在固定力边界下面的状态函数， U e 是系统内势能， P 是系统
C p, a
d G dp a 和 Pa ，求 G 和 a
杨卫书p20（1.17）-（1.18）的论述合适吗?
我的讲述：
d da 。 da 系统位移边界固定： 与外界无能量交换， 弹性应变内能 U e 是合 1 U e G 适的状态函数来描述系统演化过程， B a P 固定情形， 采用总势能 Ue P ， 可视为将 U e 做 Legendre 变换而得到， 是描述系统在固定力边界下面的状态函数， U e 是系统内势能， P 是系统
P
1 U e B a
P
【 题 2-6】如何设计变截面双悬臂梁试件的高度，即求 h(a) 或 h( x) ，使得在恒定载荷 P 下，能量释放率 G 不随裂纹扩展而改 变？如果是恒定位移加载，如何设计 h(a) 来保持能量释放率 G 不随裂纹扩展而改变？
能量平衡方法小结 在一个断裂过程中，外界做的功一部分用于改变系统的应变 能，一部分用于生成新表面的表面能，剩下的就是最终变成 热。 能量释放率，裂纹扩展单位面积时势能的减少。能量释放率 与加载方式无关，但裂纹扩展的稳定性与加载方式有关！ G 的实验测量—柔度标定 Griffith 理论在非理想脆性材料中的修正 内能，总势能，Legendre 变换，以及如何判断一般情形下的 演化过程
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d d da da
表面能： 4aB ， （单位面积表面能） 外界对系统做功 W 0 ，位移固定边界。
如何计算弹性应变能的改变 dU ？
e
为什么是4倍?
计算弹性应变能 U e（有限板情形），采用叠加原理



上面是位移边界

E' / L


u2 u2
【题 2-2】如果采用力边界，如何采用叠加原理计算能量？讨论 有限板和无限大板？仍假设裂纹面位移 u2 x1 , x1 a 可以由其他 方法得到