二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以
是
为二次根式的前提条件，如
，
，
等是二次根式，而
，
等
都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、
1
x
、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、
x y +（x ≥0，y•≥0）
． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
知识点二：取值范围
1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，
有意义，是二次根式，所以要使二次根式
有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？
例3．当x 是多少时，23x ++1
1
x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式
（
）的非负性
（
）表示a 的算术平方根，也就是说，
（
）是一个非负数，即
0（）。
注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负
数（
）的算术平方根是非负数，即
0（
），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、
偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0；若
，则a=0,b=0。
例4(1)已知y=2x -2x -，求
x
y
的值．(2)1a +1b -=0，求a 2004+b 2004的值
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，
则，如：，.
例1 计算 1．（
32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72
）2
例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，
即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；
2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
（19 （22(4)- （325 （42
(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，•并根据这一性质回答下列问题． （12a ，则a 可以是什么数？（22a ，则a 是什么数？ （32a ，则a 是什么数？
例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，
表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在
中
，而
中a 可以是正实数，0，负实数。
但
与
都是非负数，
即，。
因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：二次根式的乘除
1、 a b ＝ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）
2a b =a
b （a ≥0，b>0） a
b =a b （a ≥0，b>0）
（思考：b 的取值与a 相同吗？为什么？不相同，因为b 在分母，所以不能为0） 例1．计算
（1）57 （2139 （3927 （412
6 例2 化简
（1916⨯ （21681⨯ （3229x y （454 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1(4)(9)49-⨯-=-- （2124
2525=412252512
25
25123 例4．计算：（112
3
（23128 （311416 （4648 例5．化简：
（1364 （22
2
649b a
（32964x y （425169x y 例6．9966
x x
x x --=--，且x 为偶数，求（1+x 22
541x x x -+-的值．
3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）
例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1)
5
3
12
; (2) 2442
x y x y
; (3) 23
8x y
4、化简最简二次根式的方法：
(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；
(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；
(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符
号问题）
5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；②与；
③与；④与．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。
如8与18
知识点八：二次根式的加减
1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
例1．计算（1）8+18（2）16x+64x
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52
（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x
例2．计算
（1）348-91
3
+312（2）（48+20）+（12-5）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2
9
3
x x+y2
3
x
y
）-（x2
1
x
-5x
y
x
）的值．
2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减
3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．
（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小
例4．比较125的大小。