高等数学下册知识点第七章 空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-,取点M 使MB AM 2=,则向量OM =。
2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110,则AB =。
3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,,则cos cos cos 222ξηζ++= 。
4、设向量a 的方向角απβ=3,为锐角,γπβ=-4=,则a = 。
5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。
6、过点()121-,,P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ,,, 垂直的平面方程为_____________________________. 7、已知两直线方程是130211:1--=-=-z y x L ,11122:2zy x L =-=+,则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--03206:2z y y x L ,则1L 与2L 的夹角为( ) (A ). 6π (B ).4π (C ).3π (D )2π.9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴,则( )(A )A D ==0 (B )B C =≠00, (C )B C ≠=00, (D )B C ==0 10、平面3510x z -+=( )(A )平行于zox 平面 (B )平行于y 轴(C )垂直于y 轴 (D )垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z ++-=22100的距离为( )(A )1 (B )±1 (C )-1 (D )1312、与xoy 坐标平面垂直的平面的一般方程为 。
13、过点(,,)121与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为 。
14、平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
15、过点(,,)024且与平面x z +=21及y z -=32都平行的直线方程为。
16、过点(,,)203-并与x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩247035210垂直的平面的方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
二、完成下列各题1、设)(,82,13-=-=-=λ与b 是不平行的非零向量,求λ的值,使C B A 、、三点在同一直线上。
2、已知不平行的两向量a 和b ,求它们的夹角平分线上的单位向量。
3、设点)1,0,1(-A 为矢量,10=与x 轴、y 轴的夹角分别为45,60==βα,试求: (1)AB 与z 轴的夹角v ;(2)点B 的坐标。
4、求与向量k j i a 22+-=共线且满足18-=⋅x a 的向量x 。
5、若平面过x 轴,且与xoy 平面成30的角,求它的方程。
第八章 空间解析几何与向量代数 (一) 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;2、 线性运算:加减法、数乘;3、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;4、 利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b = ,则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ;5、 向量的模、方向角、投影:1) 向量的模:222z y x r ++=;2) 两点间的距离公式:212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3) 方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4) 方向余弦:rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos1cos cos cos 222=++γβα5) 投影:ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
(二) 数量积,向量积1、数量积:θcos b a b a=⋅1)2a a a =⋅2)⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积:b a c⨯=大小:θsin b a ,方向:c b a,,符合右手规则1)0 =⨯a a2)b a //⇔0 =⨯b a欢迎来主页下载---精品文档zyxz y xb b b a a a k j ib a=⨯运算律:反交换律 b a a b⨯-=⨯(三) 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念:0),,(:=z y x f S2、旋转曲面:yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周:0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周:0),(22=+±z y x f 3、柱面:0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、二次曲面1)椭圆锥面:22222z b y a x =+2)椭球面:1222222=++cz b y a x 旋转椭球面:1222222=++cz a y a x 3)单叶双曲面:1222222=-+cz b y a x4)双叶双曲面:1222222=--czb y a x 5)椭圆抛物面:z by a x =+2222 6)双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-2222 7)椭圆柱面:12222=+b ya x 8)双曲柱面:12222=-b y a x 9) 抛物柱面:ay x =2(四) 空间曲线及其方程1、一般方程:⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos3、空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x H(五) 平面及其方程 1、点法式方程:0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量:),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、一般式方程:0=+++D Cz By Ax截距式方程:1=++czb y a x3、两平面的夹角:),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离:222000CB A DCz By Ax d +++++=(六) 空间直线及其方程1、一般式方程:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式(点向式)方程:pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量:),,(p n m s =,过点),,(000z y x3、参数式方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y mt x x 0004、两直线的夹角:),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s = ,222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用 (一) 基本概念 1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
2、 多元函数:),(y x f z =,图形:3、 极限:A y x f y x y x =→),(lim),(),(004、 连续:),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、偏导数:xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(00000006、方向导数:βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。
7、梯度:),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。
8、全微分:设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂(二) 性质 1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:2、 闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)3、 微分法1)定义:u x2) 复合函数求导:链式法则z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===,则vyz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3) 隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组) (三) 应用1、 极值1)无条件极值:求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令 ),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值,若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值; ② 若02<-B AC ,函数没有极值; ③ 若02=-B AC ,不定。
2)条件极值:求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值充分条件令:),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ 2、 几何应用1)曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M (对应参数为0t )处的 切线方程为:)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为:0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2) 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为:0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程为:),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分 (一) 二重积分1、 定义:∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质:(6条)3、 几何意义:曲顶柱体的体积。