*
*

2
*


2
设 T 有 n 个分点 , 将 T 的分点添加到 一个新的划分 分点 .
2012-12-27
T 中 , 得到 n个
18
T 1 , 这样的 T 1 与 T 相比最多增加
19
根据性质2， 0
取
S ( T ) S ( T1 ) n ( M m )

1
n( M m ) 2
与
S (T 2 ) S (T1 )
k 个新分点 , 则有
s (T 2 ) s (T1 ) k ( M m )
S (T1 ) S (T 2 ) k ( M m )
其中
2012-12-27
M sup
x [ a , b ]
f (x)
m inf
x [ a , b ]
f (x)
13
[证] 只须证明增加一个新分点时，性质成立
设增加一个分点 x [ x k 1 , x k ]
记此划分为 T2
s ( T 1 ) 在 [ x k 1 , x k ]上的项是 m k ( x k x k 1 )
:
m k
s ( T 2 ) 在 [ x k 1 , x k ]上的两项和是
D ( k ) x k 0
2012-12-27
故 Dirichlet
函数在 [ 0 , 1 ] 上不可积
6
[ 例 2 ] 计算定积分

1 0
e dx
1 n
x
[解]
将 [ 0 , 1 ] n 等分 , 得 x k
取 k
k n
( k 0 , 1, 2 , , n 1)
:
m k
mk
m ( x x k 1 ) m ( x k x ) k k
因为 mk m , k mk m k
x k 1 x xk
m k ( x k x k 1 ) m k ( x k x ) m k ( x x k )
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:

k 1
n
f ( k ) x k , 记 max
1 k n

x k ,
3
如果和式极限
lim
0

k 1
n
f ( k ) x k 存在 , 则
称 f 在 [ a , b ] 上可积 , 记 f R [ a , b ]; 并且 称此极限值为 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的定积分 .
*

2


2

即 0 , 0 , 对于任意划分 就有
2012-12-27
T , 只要 ,
0 S (T ) I
即
(T ) 0
lim
S (T ) I
19
（三） 可积性条件 定理1：
设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界 , 则 f ( x ) 是 : 在 [ a , b ] 上可积的充分必要条件 下积分等于上积分 ,即 I I .
y
y f (x)
x
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o
a
b
9
定义：（达布上和与下和）
设 f ( x ) 是 [ a , b ] 上有界函数 是 [ a , b ] 的一个划分 mk Inf : , 记 M
k
,T Sup
x k k 0
n

f ( x )
x [ x k 1 , x k ]


,则 , 有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
0 S ( T ) S ( T1 ) n ( M m ) n ( M m )
0 S ( T ) I [ S ( T ) S ( T 1 )] [ S ( T 1 ) I ]


2
[ S (T ) I ]
sup
k [ x k 1 , x k ] k 1

n
f ( k ) x k
12
性质2：（分点增多时，小和不减，大和不增）
对 [ a , b ] 的一个划分 T 1 , 增加某些新分点 T2 , 有 , 构成 [ a , b ] 的一个新划分
s (T1 ) s (T 2 )
如果增加
[注意2] 对同一个分法，上和与下和的关系是:
s (T ) S (T )
2. 达布上和、下和的性质
设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界
性质1： 对于
[ a , b ] 的一个划分
n
T , 任意黎曼和
都介于下和
s( T )
且
s ( T ) 与上和 S ( T ) 之间 , 即

2012-12-27
.
5
[ 例 1 ] 证明 Dirichlet 函数 1 D(x) 0 x 为有理数 x 为无理数 在 [ 0 , 1 ] 上不可积
[证]
任给 [ 0 , 1 ] 的一个划分
x k n 0 k
( k 1, , n )
0
n
任取 k [ x k 1 , x k ] 是有理数
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
2012-12-27 1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念
二、可积性条件与可积类
2012-12-27
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设函数 作任意划分 f : [ a , b ] R , 对区间 [ a , b ] , 即在 [ a , b ]中插入一组分点 :
inf S ( T ) I
T
f ( x ) 在 [ a , b ] 的 上积分
性质4：（下积分不超过上积分）
对于 [ a , b ] 上的任何有界函数
s ( T ) S ( T )
2012-12-27
T T
f ( x ), 有 I I
即 I 17I
sup s ( T ) inf S ( T )
m k ( x k x k 1 )
[ M k ( x x k 1 ) M k ( x k x )]
m k ( x k x k 1 ) (M (M

k
m k )( x k x k 1 ) m k )
k
s (T 2 ) s (T1 ) k ( M m ) S (T1 ) S (T 2 ) k ( M m )
f ( x ),
S( f , T )
k 1, 2 , , n
x [ x k 1 , x k ]
则称和式

k 1
n
M kxk
s( f , T )

k 1
n
m kxk
达布上和 （大和） 达布下和 （小和）
10
[注意1] 上和、下和是被划分唯一确定的 2012-12-27 这是上和、下和与积分和的主要区别
s( T )
m k f ( k ) M
k
m
k 1
n
k
xk

k 1
n
f ( k ) x k

k 1
n
M k xk S ( T )
再证
S( T )
sup
k [ x k 1 , x k ] k 1

n
f ( k ) x k
Mk
a
”定义：
0 , 0 , 使得对 [ a , b ] 的任意划分 及点 k 的任意取法 就有 , 只要 max
1 i n
x i
,

k 1
n
f ( k ) x k I
则称 I 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上的定积分
构成 [ a , b ] 的一个新划分
根据性质2，有 又对划分 T 有
3
s (T1 ) s (T 3 ) s (T 3 ) S (T 3 )

s (T1 ) s (T 3 ) S (T 3 ) S (T 2 )
即 s (T1 ) S (T 2 )
s (T 2 ) S (T1 )
记作:
积分上限

b a
f ( x ) dx lim
0

k 1
n
f ( k ) x k
积分下限
[a , b ]
2012-12-27
称为积分区间
定积分是 : 积分和式的极限
4
[例如]
曲边梯形的面积 A

b
f ( x ) dx
a
变速直线运动的路程
定积分的“
s

b
v ( t ) dt
[证] 必要性
已知
f 在 [ a , b ] 上可积

b a
f ( x ) dx I
0 , 0 , 使对任意的划分 取法 , 只要 , 就有
n
T , 对 k 的任意

k 1
f ( k ) x k I
n
0, k [ x k 1 , x k ], 使得

ba
f ( k )
因此 （ M k
k 1
n


ba
) x k f ( k ) x k