dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2

山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
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例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
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例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解 令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
例14. 求不定积分 解: 原式
1 ( 2u )(u 2 1)

A 2u

B u 1

C u 1
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例15 求
dx . 10 x( 2 x )
10 1 d ( x ) x dx 10 10 10 10 10 x ( 2 x ) x (2 x ) 9
2
d [ ln( x 1 x ) 5 ]
x 1 x

dx 1 x
2
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例6. 求
x x x 2 sin cos x x 解 : 原式 x d tan tan d x 2 2 dx 2 2 2 x 2 cos 2 x x tan C 2 例7. 求
第一类换元法 第二类换元法
(代换: x (t ))
(注意常见的换元积分类型)
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3. 分部积分法
u v dx u v uv dx
使用原则: 1) 由 v 易求出 v ;
2)
u v dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v . 计算格式: 列表计算
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出. 例如 ,

1 k sin x dx (0 k 1) ,
2
2
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例13. 求
dx 1 e e e
x 6
x 2 x 3 x 6
.
解: 令 t e , 则 x 6 ln t , dx 6 dt t
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例1. 求
2 3 解: 原式 dx 2x 2x 3 2 2) x d ( 1 3 2 ln 3 1 ( 2 ) 2 x 3
x x
x 2 ( 3) 2x 2 1 ( 3)
da a ln a dx
dx
x
x

x 2 arctan( 3 )
例4
1 sin x 1 cos x dx
1 sin x 解:原式 1 cos x dx 1 cos x dx
x 1 d (1 cos x) 1 2 x cot ln | 1 cos x | C csc dx 2 2 2 2 1 cos x
sec
n2
(n 2) sec
n 3
x sec x tan x
x tan x (n 2) I n (n 2) I n2
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例12. 求
解: 设 F ( x) x 1 则 因 连续 , 利用
x 1 , 1 x ,
解 : 原式
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例8. 求 解: 原式 arctan e x de x
x x
x
e e arctan e e dx 2x 1 e
2x 2x ( 1 e ) e e x arctan e x dx 2x 1 e
x 1 x 1
x 1 x 1
得
1 x2 x C , 1 2 2 1 x 2 x C2 ,
1 C1 2
得

1 C 2 2
记作
C
x 1
1 1 1 C1 1 2 C2 2 1 1 xx 1x ,C , x 1 22 ( ) C 2 2
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例5. 求
解: 原式 [ ln( x 1 x ) 5 ] d [ ln( x 1 x 2 ) 5 ]
2
3 2 2 ln( x 1 x ) 5 2 C 3
1 2
分析:
(1
2
2x 2 1 x
2
) dx
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主要内容
原
选 择 u 有 效 方 法
函
数
不 定 积 分
直接 积分法
分部 积分法
积分法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
基 本 积 分 表
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
2x e x arctan e x x 1 ln ( 1 e )C 2
x
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例9. 求
解: (一) 令 x=tant
原式
x2 1
t 1
x
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例9. 求
解 : (二 )
而
即 所以
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2 2 1 11 ( x 1)x C , C, 22 2
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
指数函数有理式
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
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2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 .
x2 1 1 arcsin C . x x
t
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Байду номын сангаас
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例11. 设
证明递推公式:
1 n2 n2 In sec x tan x I n2 n 1 n 1
证: I n sec n 2 x sec 2 x dx
(n 2)
sec n 2 x sec n2 x tan x (n 2) sec n 2 x (sec 2 x 1) dx