Mkx Nk x2 px q
Mx N x2 px q .
这样，求有理函数的积分便可以归结为4种最简真分 式的积分.
例3. 将 解: 分母可化为
分解为最简真分式
（**）
（**）
四种典型部分分式的积分:
1.

x
A
a
dx

Aln
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
1 x(x 1)2

x (x 1) x(x 1)2

(
x
1 1)2

x(
1 x
1)

(
x
1 1)2

x (x 1) x(x 1)

(x
1 1)2

x
1 1

1 x
(2) 解法1：
x2
x3 5x 6

x3 (x 2)(x 3)

A x2
B x3
两端去分母后得
解:原式
(x2 2x 2) (2x 2) (x2 2x 2)2
dx

dx (x 1)2 1
d(x2 2x 2) (x2 2x 2)2

arctan(x

1)

x2

1 2
x

2

C
例8. 求
dx x4 1
按常规方法解: 此解法较繁!可以考虑其他求解方法.
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数
相除
多项式 + 真分式 分解
若干最简真分式之和
其中最简真分式的形式为
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
例1. 将下列真分式分解为最简真分式 :
解: (1) 用拼凑法
§6.3 几类初等函数的积分
6.3.1 有理函数的积分 6.3.2 三角函数有理式的积分 6.3.3 某些含根式的函数的积分
数学与物理学院 221
直接积分法
基本积分法
换元积分法
分部积分法
初等函数
求导 积分
初等函数
6.3.1 有理函数的积分 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
(3) 混合法
(1
1 2 x)(1
x2)
A 1 2x

Bx C 1 x2
4
x


1 2
5
1 4C 5
1 4 BC 6 15 2
原式
=
1 5

4 1 2
x

2x 1
1 x2

B 2 5
C1 5
Q(x) b(x a1)m1 (x as )ms
4
dx

x
4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4

(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arc7. 求
3
d(x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln x2 2x 3 3 arctan x 1 C
2
2
2
思考: 如何求
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例6. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2

2 5

d(1 2x) 1 2x

1 5

d(1 x2 1 x2
)
1 5

1
dx x
2
2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C
5
5
5
例5. 求
解: 原式
1 2
(2
x

2)

3
x2 2x 3
dx
1 2
d(x2 2x 3) x2 2x 3
恒等式
于是有
从而有A=-5,B=6. 故 原式
6 x3
解法2：赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)

A x2
B x3
故 原式
在恒等式(1)中代入 特定的x，从而求出 待定系数.
x

2
x3 x3
x

2

5
x 3
x3 x2
x
3
6
6 x3

(x2
R2 x S2 pt x qt
)kt
1

M k1 x Nk1 x2 p1x q1

Rkt x Skt x2 pt x qt
,
注意：
(x
A1 a)m

(x
A2 a)m1

Am xa
A. xa
例2. 将下列真分式分解为最简真分式 :
（1）
（2）
解: （1）首先将分母因式分解：
其中A、B、C 为待定系数. 通分得
原式
比较得 由此得
（2）分母
故有
通分去分母得 令x=0，得 A =1；令x=1，得 C = 1.
将A、C的值代入上式（*），得
令x=2，得 B = -1.
M1x N1 (x2 px q)k

M2x N2 (x2 px q)k1

A2 (x a1)m11

Am1 x a1

(
x
B1 as
)ms

(x

B2 as )ms
1

Bms x as

(
x2
M1x N1 p1x q1
)k1
(x2
M2x N2 p1x q1)k11

R1x S1 (x2 pt x qt )kt
第一步 令
比较系数确定a , b , c , d .得
第二步 化为部分分式 . 即令
比较系数确定A , B , C , D . 第三步 分项积分 .
解:
dx 1 x4 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
1 2
1

1 x2

A 1 n
(x

a)1n

C
(n 1)
3.

MxN x2 px
q
dx
4.
(
x
M 2
x px
N q)
n
dx
变分子为
M 2
(2x

p)

N

Mp 2
再分项积分
例4. 求
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )

1 5

1
4 2
x

1
2x x
2

1
1 x2
(x2 p1x q1)k1 (x2 pt x qt )kt
(
p
2 j
4q j

0,
j
1,
2,
, t)
Q(x) b(x a1)m1 (x as )ms (x2 p1x q1)k1 (x2 pt x qt )kt
P(x) Q(x)

A1 (x a1)m1