§2.1 波函数的统计解释
§2.1 波函数的统计解释
所以，我们假如换一个方式来做衍射实验，不 是 让许多电子同时穿过圆孔，而是将它们 一个一 个地射向圆孔 ( 如果阵低入射波强度，使通过实 验装置里的能量不超过 肿 ， 从粒子性角度 ，这 就意味着是一个一个地通过实验装置的 ) ，这时 情况如何呢 ?
2、波和它所描写的粒子之间的关 系
由上面的实验就可以看出，实验所显示出电子的波 动性是许多电子在同一实验中的统计结果，或是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的，而玻 恩正是基于此提出了波函数的统计解释。
根据对波函数的统计解释再看衍射实验： 粒子被晶 体反射后，描写粒子的波发生衍射，在 衍射图样中有许多衍射极大和衍射极小： ----- 在衍射极大的地方，波的强度大，每个粒子投 射到这里的概率也大，因而投射到这里的粒子多；
目 录
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 §2.9
波函数的统计解释 态叠加原理 薛定 谔方程 粒子流密度和粒子数守恒定律 定态薛定谔方程 一维无限深 方势阱 线性谐振子 势垒贯穿 例题
§2.1
波函数的统计解释
§2.1 波函数的统计解释
在上一章中我们已经看到，为了建 立新的描写微观粒子的理论，需要从由 实验揭示出的微观粒子的波粒二象性入 手。所以，我们首先需要对微观粒子的 运动有一个新的物理图像，既容许粒子 表现出波动的特性，又容许它们表现出 粒子的特性。
பைடு நூலகம்
4、波函数的性 质
量子力学中波函数的这种性质是其他波动过程（声 波、光波等等）所没有的。 对于声波、光波等，体系的状态随振幅的大小而改 变，如果把各处振幅同时加大为二倍，那么声或光 的强度到处都加大为四倍，这就完全是另一个状态 了。
§2.1 波函数的统计解释
• 5、波函数性质的数学表达
①概率密度 设波函数 x, y, z, t 描写粒子的状态，则在空间一 点
2
(2.1.1)
式中C是比例常数。
5、波函数性质的数学表达
• 以体积 d 除以概率 dW ，得到在时刻t 、在 x, y,
z
• 点附近单位体积内找到粒子的概率，称其为概
x ,,y ,,z ,t 2 率密 度，并以 dW w x , y z t 表示： w x, y , z , t = =C x, y, z , t d
2、波和它所描写的粒子之间的关 系
----- 在衍射极小的地方，波的强度很小或等于零， 粒子投射到这里的概率也很小或等于零，因而投射 到这里的粒子很少或者没有。
下围是一挺枪从远处不停向靶子扫射。枪和靶 子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条 键。 当只开辑 1 时，靶子上子弹的密度分布为 Pl 向 当 只开缝1 时，靶子上子弹的密度分布为 P2 例 。 当 双缝齐开时，经过缝 1和缝2 的子弹不相干的一粒 一 粒地打到靶子上，子弹的 密度分布简单的为
C=


d
2
(2.1.4)
5、波函数性质的数学表达
根据性质二，波函数乘上一个常数后并不改变在空 间各点找到粒子的概率，即不改变波函数所描写的 状态。现将(2.1.4)所确定的C开方后乘 ，并以 表示所得出的函数：
x, y , z , t C x, y , z , t 则波函数 和 所描写的是同一个状态。于是， 由(2.1.1)式，在时刻t 、在x, y, z 点附近体积元d
§2.1 波函数的统计解释
• 3、波函数描写微观体系的量子状态
已知描写微观体系的波函数后，由波函数振幅绝对 值的平方，就可以得出粒子在空间任意一点出现的 概率，而且由波函数还可以得出体系的各种性质， 因此，我们说波函数（也称概率幅）描写体系的量 子状态（简称状态或态）。 这种描写状态的方式和经典力学中描写质点（宏观 粒子）状态的方式完全不一样。
• 1、什么是波函数
① 自由粒子与平面波 可以用平面波来描写自由粒子以表示微观粒子（简
• 称粒子）的波粒二象性 平面波：频率和波矢不随 时间或位置改变 自由粒子：能量和动量不随时间 或位置改变 平面波的频率和波长与自由粒子的能量和动量由下 面的德布罗意关系式联系起来：
E hv
p
h

n k
§2.1 波函数的统计解释
• 对于一个微观粒子，怎样来描写它在某一个时刻的 运动状态呢？ • 在经典力学中，使用指明某时刻粒子的位置和动量 的办法来描写，但在量子力学中，这显然不行。因 为： a.粒子的波动性不能反映。 b.粒子轨道的概念这 里不能用（因粒子的位置和动 量不可能同时有确 定值）。
§2.1 波函数的统计解释
应对相
② 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波 来描写，而必须用较复杂的波来描写。
1、什么是波函 数 受到随时间或位置变化的力场的作用的粒子，其
③ 波函数：一般情况下，用一个函数来描写粒子的 波，该函数被称为波函数。 • 波函数是一个复数。 • 描写自由粒子的德布罗意平面波是波函数的一个 特例。
量子力学与统计物理
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第二章 波函数和薛定谔方程
本章目的
• 以实验所揭示出的微观粒子的波粒二象性为根据 引进描述微观粒子状态的波函数
• 讨论波函数的性质 • 建立非相对论量子力学的基本方程——薛定谔（ Schrö dinger）方程
• 把薛定谔方程应用到几个比较简单的力学体系中 ，求出方程的解和阐明这些解的物理意义
• y到y+dy、z到z+dz的无限小区域内找到粒子的概率 ， 则 • dW ∝这个区域的体积 d dxdydz 按照波函数的统计解释，在这个区域内一点找到粒 • ∝在这个区域内每一点找到粒子的概率 2 子的概率与 x, y, z, t 成比例，所以
dW x, y, z, t =C x, y, z, t d
(2.1.2)
5、波函数性质的数学表达
② 归一化 根据性质一，粒子在空间中各点出现的概率总和等 于1，将(2.1.1)式对整个空间积分，得到粒子在整个 空间中出现的概率，所以有：
C x, y, z , t d =1
1
2
(2.1.3)
式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分， 由(2.1.3)式有：
§2.1 波函数的统计解释
•• 2、波和它所描写的粒子之间的关系
• ① 一种观点：波是由它所描写的粒子组成的。
• 这种观点是否正确？ 按照这种观点，如果波真是 由它所描写的粒子所组 成，同时，衍射现象是由 波的干涉而产生的，则粒 子流的衍射现象应当是 由组成波的这些粒子相互作 用而形成的。 但是 ，该结论与粒子流衍射实验不符。
x, y, z, t 和时刻 t，波的强度为 =
*
2
。

*
表示
的共轭复数。
由于波函数有一定的空间延伸，因此不能把一个微 观粒子归结为一个严格的位置上；当人们进行位置 测量时，人们只能确定在空间一给定区域找到粒子 的概率。
5、波函数性质的数学表达
以
dW x, y, z, t 表示在时刻t 、在坐标x到x +dx、
由玻恩首先提出了波函数的统计解释，即： 波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值 的平方）和在该点找到粒子的概率成比例， 即描写粒子的波是概率波。 该解释被人们广泛接受。
2、波和它所描写的粒子之间的关 系 我们通过粒子流衍射实验来理解玻恩的解释：
----- 如果入射电子流的强度很大，即单位时间内有 许多电子被晶体反射，则照片上很快就出现衍射图 样； -----如果入射电子流强度很小，电子一个一个地从 晶体表面上反射，这时照片上就出点一个一个的点 子，显示出电子的粒子性。 开始时，看来是毫无规则地散布着； 随着时间延长，点子数目逐渐增多，在照片上 的分布就形成了衍射图样，这就显示了电子的波动 性。
在第三章将看到，当粒子处于某一量子状态时，它 的力学量（如坐标、动量等）一般有许多可能值， 这些可能值各自以一定的概率出现，这些概率都可 以由波函数得出。
§2.1 波函数的统计解释
• 4、波函数的性质
① 由于粒子必定要在空间的某一点出现，所以粒子 在空间中各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空 间中各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的 相对强度，而不决定于强度的绝对大小。 ② 如果把波函数在空间各点的振幅同时加大一倍， 并不 影响粒子在空间各点的概率，即：将波函数乘 上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
1
1
在底板上 豆 附近衍射花样的强度 也 在 r 附近感光点的数目 忧 电子出现在点 r 附近的几率
l
因此，电子呈现出来的波动性反映了微观客体运动的 「
海森堡首先注意到上述实验，井在他的 测不准原 理中作了解释。归纳起来，测不准原理就这个问题 的解释可以陈述为 ( 海森堡的 测不准原理 的一般性 讨论在后面介绍 ) : 一个过程如有两个以上的效果可供选择，那么， 一旦决定了采用其中某个选择，就破坏了各个可能 选择之间的 干涉。
3、波函数描写微观体系的量子状 态
在经典力学中，通常是用质点的坐标和动量（或速 度）的值来描写质点的状态。质点的其他力学量， 如能量，是坐标和动量的函数，当坐标和动量确定 后，其他力学量也就随之确定了。
3、波函数描写微观体系的量子状 态 量子力学中，不可能同时用粒子坐标和动量的确定
值来描写粒子的量子状态，因为微观粒子具有波粒 二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
2
满足(2.1.7)式的波函数称为归一化波函数， (2.1.7) 式称为归一化条件，把 换成 的步骤称为归一 化，使 换成 的常数 C 称为归一化因子。
5、波函数性质的数学表达
几点注意： ① 波函数在归一化后也还不是确定的； 用一个常 数 ei ( 是实常数)去乘波函数，这样既不 影响空间各点找到粒子的概率，也不影响波函数的 归一化 因为 则