德布罗意假说（1924年）： 一切实物微粒也具有波动性。
德布罗意
de Broglie
(1892—1987) 因发现电子的波动性 荣获1929年 诺贝尔物理学奖
5
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波 （物质波）的频率及波长为

E h

p
h p
2ห้องสมุดไป่ตู้
例：
自由粒子 则波长
E

h p
2m
h 2mE
k
其中：

i

i
yi
j
zi
一般方法：根据非相对论能量动量关系式（体 系的哈密顿式），用能量算符和动量算符代替 能量和动量分别作用于波函数上，便可得到量 子体系所满足的薛定谔方程。
31
注： （1）方程不是由更基本的假定从数学上严格推 导出来的。它是量子力学的一个基本假定。 （2）方程为什么不是时间t 的二阶导数？
1 2 π
e

px Et
C

1 p,t 2 π
3 2




x , t
* p
( x )d x
26
注：（1）态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线 性叠加，而不是概率的叠加。
（2）同一量子态可用不同形式的波函数表示。
2
9
又因洛伦兹力
q c vB
q F v B ，使粒子做圆周运动. c
mv r
2

v
q Br mc
与玻尔量子化条件联立,得
r
2
1 2c n 2 q B
所以,粒子能量可能值为
En 1 2 mv
2
(n
1 2
q B ) mc
( n 0 , 1, 2 , )
P 点电子流的强度
πd I 4 I 0 cos ( sin ) q
2

当 sin q

nd
此结果为实验所证实. 实验证明：电子、质子、原子、分子等都具有波 动性；波动性是物质粒子普遍具有的。 戴维孙、汤姆孙 因电子衍射实验 获1937年诺贝尔 物理学奖

( n 0,1, 2,
)
时,电子强度为极大,
22
[例题] 将波函数 f x exp a 2 x 2 2 归一化
解： 设归一化因子为C，则归一化的波函数为
( x ) C exp( a x
2 2
2)
由


(x)
C
2
d x 1
计算积分得
2

a
π
,所以，C

a
π
e
iδ
取 d＝0，则归一化的波函数为
(x)
19
设波函数 x, y, z, t
t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内 的概率
dW
x, y, x,t
C
x, y, z,t
2
dxdydz
概率密度：
w x, y, z, t dW dV C
x, y, z,t
2
3.波函数的性质
17
2. 概率波 德布罗意：“物质波”不是经典波所代表的某种物 理量的波动，而是所描写粒子空间分布的概率波， 把粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一了起来。 电子衍射实验：
电子枪
电子束
金箔 屏
18
因为x处的强度 ∝ x处感光点子数 ∝ x处电子数
∝ 电子出现 x 处的几率 又因为强度 ∝ 波幅平方 所以，电子在t 时刻，x处的概率∝电子波函数的模方 玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出 现的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间 出现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
体系的能量 作代换 薛定谔方程：
i t
n
n
E

i 1
2 pi 2mi
t
U

x1 , x 2 , , x n

E i
p i i
i

i 1

2
2mi
xi
i U
2

x1 , x 2 , , x n
RETURN
Clinton Davisson 1881—1958
15
二、 波函数
量子力学基本假说之一 ： 一切微观粒子的状态可用相应的波函数 来描写. 自由粒子：
E, p
是常量 v , k
对应
是常量


平面波
自由粒子平面波函数
p r E t (r , t) A e
第二章 一、波粒二象性
波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数及其统计解释
1. 光的波粒二象性
光子的能量和动量
E h
h h p n n k c
(
2π k n 其中

，

h 2π
1 .0 5 4 5 1 0
34
J s
)
4
2.微观粒子的波粒二象性
l
1 q p d l mv A dl n h l c 2

于是，
A dl
l

S
2 A dS= B dS= πr B
S
1 m v 2πr πr B n h c 2 q
i
如：平面波函数 A e
p r E t




* p
r , t
p
p p x 2 dx r , t dx A e
i
21
1 2 A 2 π 2π


i
e

p
p x
RETURN
a
π
exp( a x
2
2
2)
23
§2.2 态叠加原理
一、量子态
二、态叠加原理——量子力学假设之二
RETURN
24
§2.2 态叠加原理
一、量子态： 波函数描写体系的量子状态。
二、态叠加原理——量子力学假设之二
量子力学叠加原理： 如果 1 和 2 是体系的可能态，则它们的 线性叠加 c 1 1 c 2 2 也是体系的可能态。 设 1 态中测力学量A值为 a1， 2 态中测力学量 A值为a2 ,则 c 1 1 c 2 2 态中测A 结果既可能 是 a 1，也可能是 a2 。或：体系处于态时，体系既 处在态 1 ,又处在态 2 。
1
第二章
波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数及其统计解释
§2.2 态叠加原理 §2.3 含时薛定谔方程 §2.4 定态薛定谔方程 §2.5 薛定谔方程的简单应用
§2.6 势垒贯穿 §2.7 例 题
RETURN
2
§2.1 波函数及其统计解释 一、波粒二象性
二、波函数
三、波函数的统计解释
RETURN
3
x,t C p,t
x,t 与 C
C
——坐标表象
——动量表象

p , t 是互为付氏变换式。
i p x x 3

p,t
C
的归一性：
p




2
dp





d p d x d x
2
a
E

π 2ma
2
2 2
n
2
2m
——能量不连续
7
[例题] 氢原子的角动量。 解： 驻波条件：轨道圆周长= n倍周长
2p r n ( n 1, 2 … )
德布罗意关系：
h p hmv
所以，角动量为 驻波
L rp nh 2π n
角动量是量子化的 [问题] 物质粒子既然具有波动性，为什么 过去长期把它们看成经典粒子？ 8
电子在电场中 则波长
E eU

h 2em U 1 2 .2 6 U V
6
nm
定态 驻波
[例题] 粒子在无限深势阱中运动。
解：n =0，a，为节点
驻波条件： n 所以

2 a n 1, 2 , 3,
n
p h
2
2a
n nh

p
o
2 2
2a
n h 8m a
一、方程的建立
量子力学基本假设之三： 量子态随时间的变化规律满足薛定谔方程. 1.含时薛定谔方程
（1） 单粒子体系的薛定谔方程
i t
2

U
2
2m

x
r [建立] 设粒子在势场 U x 中运动，则粒子能量
E 2 p 2m U

x
29
由
作代换
x 2 d A 2 πδ p p
取 A
2ph
1
12
所以
1 (2 π)
1 2 i
p (r , t)
e
p r E t

③ 箱归一化——加上周期性边界条件限制
(x) (x L)
id
L ——周期
4.存在不确定的相因子 e （其既不影响空间各 点粒子的概率，也不影响到归一性）