例1 N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y}，试证运算*，△满足吸收律
证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x
∴运算*和△满足吸收律
2020年6月9日星期二
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普通的除法，是定义在何集合上的？
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ①运算表—表示函数运算关系的表
∧0 1 000 101
→0 1 0 11 1 01
01 ¬1 0
* abcd
aaaaa
bbccc
caabc
dcbbb
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如，R上普通乘对加,减法满足分配律，但加,减法对乘 除法不满足分配律。
其它可分配与不可分配的例子…..
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xо(x*y)=x ，
其它可结合与不可结合的例子…
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
③分配律 设о和*为S上的二元运算，若有∀x,y,z∈S，都有:
x*(yоz)=(x*y)о(x*z) (左分配) (yоz)*x=(y*x)о(z*x) (右分配) 则称运算*对о是可分配的(*对о满足分配律) 。
7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ⑤等幂的 设o为S上的二元运算，若∀x∈S，有 xox=x， 则称运算o是等幂的（称为满足等幂律）。
如，∧，∨与∪，∩都是等幂的，而R上的普通加，减， 乘，除都不是等幂的。
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
满足交换律的运算运算表一定是对称的！
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
②结合律 设о为S上的二元运算，若有∀x，y，z∈S，都有 xo(yoz)=(xoy)oz 则称运算o是可结合的(满足结合律)。
如，R上普通的加，乘法满足结合律，而减，除法不 满足结合律。
①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不 满足交换律。
其它可交换与不可交换的例子：
满足交换律的运算（特殊的二元关系）是否就是对称 关系？
z=xoy=o(<x,y>) <<x,y>,z>∈o 满足交换律的运算运算表的特点：？
第 7 章 代数系统
本章 知识 要点
代数系统的概念； 运算的性质； 运算的特殊元素； 同态与同构
本章 重点
运算的性质； 运算的特殊元素； 代数系统的同态与同构。
本章 难点 同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与同构
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7.1 运算 7.1.1 引言
C语言中的不同的数据类型？ 整数：存储方式，值的范围，可用运算…… 整数的取反运算-： F-：Z→Z，且：F-（x）=-x;
R的普通减法运算，在N中？
R*的普通除法运算，在Z中？ R的普通加法运算，在{x|x与5互质}中？
R的普通加法运算，在{x|x是30的因子}中？ R的普通加法运算，在{x|x是30的倍数}中？ R的普通加法运算，在{x|x的某次幂可被16整除}中？
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质
示例2：R中的普通减法(-)， 对其子集Z
示例3：R中的普通除法(/)， 对其子集Z
示例4：R中的普通取反(单目-)， 对其子集N
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y z=x*y
x
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性--- 对于A上的2元运算*，若对于A的子 集B，任意的x,y∊B,有x*y∊B，则称运算*在B中的封闭的。 如，R中的普通减法运算，在整数集合Z中是？
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7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
* abcd aaaaa bbccc caabc dcbbb
* abcd aaaaa bacbc cabab dacbc
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性
y z
y z=x*y
x
x
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作为运算（函数）z自然应该在A中，但当 x,y取自A的子集B时，Z是否也在B中？
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7.1 运算 7.1.2 运算
3)几个术语 ②运算封闭性
示例1：R中的普通加法(+)， 对其子集N
整数的加运算+： F+：Z✕Z→Z，且：F+ (<x,y>）=x+y;
结论：运算是函数的另一种表示形式： A到A的函数是一元运算; A✕A到A的函数是二元运算； A✕A✕A到A的函数是三元运算。
………… Ak=A✕A✕A… ✕A✕A到A的函数是k元运算。
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7.1 运算 7.1.2 运算
1)集合A上的k元运算—集合Ak到集合A 上的函数。
显然，k=1和2时就是所谓的一元运算和二元运算。 2)说明
①作为函数的另一种形式，运算通常写成新的表示形 式，即表达式形式，如：
- (<x,y>)=x-y x-y ②以后的讨论以二元运算为主，涉及的运算多为广义 的运算，比如出现运算符*并不代表普通的乘法运算（除非 特别申请）。
则称运算*和о满足吸收律。
如，∧，∨与∪，∩都满足吸收律，而R上的普通加， 减，乘，除都不满足吸收律。
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7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xo(x*y)=x ， 则称运算*和о满足吸收律。