1 1 1 c a c b b d a c c b
0 ¬ 1
1 0
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7.1 运算 7.1.2 运算 3)几个术语 ②运算封闭性
y z
y
z=x*y
x
x
2013年10月25日星期五
作为运算（函数）z自然应该在A中，但当 x,y取自A的子集B时，Z是否也在B中？
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o a b zl c zl d zl o a b c d zr zr zr zr zr
zl zl
如，R上的普通除法中的0，普通乘法中的0，集合交， 并运算中的空集与全集 page: 19
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7.1 运算 7.1.3 运算的特殊元素，逆元，消去律 ③零元 设o为S上的二元运算，若存在元素，∀x↔S，有 zlox=zl (xozr=zr) ， 则称 zl(zr)为左（右）零元。 若运算o既有左零元zl，又有右零元zr，则其左右零元 必相等且惟一，此时称为运算o的零元z。
2013年10月25日星期五
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ③分配律 设о和*为S上的二元运算，若有∀x,y,z↔S，都有: x*(yоz)=(x*y)о(x*z) (左分配) (yоz)*x=(y*x)о(z*x) (右分配) 则称运算*对о是可分配的(*对о满足分配律) 。 如，R上普通乘对加,减法满足分配律，但加,减法对乘 除法不满足分配律。
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y↔S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。 如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不 满足交换律。
其它可交换与不可交换的例子： 满足交换律的运算（特殊的二元关系）是否就是对称 关系？ z=xoy=o(<x,y>) <<x,y>,z>↔o 满足交换律的运算运算表的特点：？
这是因为根据左右么元的特点必有： eloer= el =er = e 而如果我们假设还存在另外一个么元E，则必有： eoE= e = E 么元的例子：逻辑运算，集合，实数….
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7.1 运算 7.1.3 运算的特殊元素 ③零元 设o为S上的二元运算，若存在元素，∀x↔S，有 zlox=zl (xozr=zr) ， 强调自我 则称 zl(zr)为左（右）零元。
这是因为根据左右么元的特点必有： zlozr= zl =zr = z 而如果我们假设还存在另外一个零元Z，则必有： zoZ= z =Z 零元的例子：逻辑运算，集合，实数….
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7.1 运算 7.1.3 运算的特殊元素 ④逆元 设o为S上的有么元的二元运算，若对于元素a↔S， 存在元素al-1，有 al-1oa = e ， 则称元素al-1是的a左逆元（右逆元ar-1 ？） 结论：若运算o是有么元的可结合的二元运算，且元 素a既有左逆元al-1 ，又有右逆元ar-1，则其左右逆元必相 等且惟一，此时称它为元素a的逆元，记为a-1。 显然，任意二元运算的么元都是可逆的，且逆元就是 它自己，而零元一般是不可逆的。 如，矩阵乘法运算中的逆矩阵，R上普通加法中，元 素x的逆？普通乘法中元素x的逆？
证明：x，y↔N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x ∴运算*和△满足吸收律
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ⑤等幂的 设o为S上的二元运算，若∀x↔S，有 xox=x， 则称运算o是等幂的（称为满足等幂律）。 如，∧，∨与∪，∩都是等幂的，而R上的普通加，减， 乘，除都不是等幂的。
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y↔S，都有: x*(xоy)=x 且 xo(x*y)=x ， 则称运算*和о满足吸收律。 例1 N为自然数集,x,y↔N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y}，试证运算*，△满足吸收律
其它可分配与不可分配的例子…..
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y↔S，都有: x*(xоy)=x 且 xо(x*y)=x ， 则称运算*和о满足吸收律。
如，∧，∨与∪，∩都满足吸收律，而R上的普通加， 减，乘，除都不满足吸收律。
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7.1 运算 7.1.3 运算的特殊元素 ①幂等元 设o为S上的二元运算，若x↔S，有xox=x，则称x为 运算o的幂等元。 如，∧，∨与∪，∩都是等幂的运算，所以，集合中 的任意元素都是幂等元。
R上的普通加，乘法不是等幂的，但是，加法运算中， 0是幂等元，乘法运算中，0和1是幂等元
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质 结论：在代数系统<S,*,o >中，若运算*,o满足吸收律， 则必满足等幂律。 ∀a,b,c∊S，若有： a*(aob)=a ao(a*b)=a 则必有：a*a=a aoa=a 这是因为：a*a =a*(ao(a*b)) =a*(ao( … )) =a 同理可得： aoa=a
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7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y↔S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
* a b c d a a b a c b a c a b c a c b b d a c c b * a b c d a a a a a b a c b c c a b a b d a c b c
7.1 运算 7.1.2 运算 3)几个术语 ②运算封闭性 示例1：R中的普通加法(+)， 对其子集N 示例2：R中的普通减法(-)， 对其子集Z
示例3：R中的普通除法(/)， 对其子集Z 示例4：R中的普通取反(单目-)， 对其子集N
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y
z=x*y
x
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普通的除法，是定义在何集合上的？
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7.1 运算 7.1.2 运算 3)几个术语 ①运算表—表示函数运算关系的表
∧ 0 0 0 1 0 1 0 1 * a b c d
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→ 0 0 1 1 0 a a b a c b a c a b
el
如，R上的普通减法中的0，普通除法中的1，普通乘 法中的1 …
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7.1 运算 7.1.3 运算的特殊元素 ②么元（单位元） 设o为S上的二元运算，若∀x↔S，存在元素el(er)， 有 elox=x (xoer=x) ， 则称el(er) 为左（右）么元。 若运算o既有左么元el，又有右么元er，则其左右么元 必相等且惟一，此时称为运算o的么元e（单位元）。
2013年10月25日星期五
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7.1 运算 7.1.3 运算的特殊元素 在讨论了上述概念之后，我们就可以讨论运算的另一 个运算性质：消去律 设o为S上的二元运算，若对于任意元素x,y,z↔S，满 足 ⑴x非零元，且xoy=xoz ⇒ y=z ⑵x非零元，且yox=zox ⇒ y=z 则称运算o满足消去律。
7.1 运算 7.1.2 运算 3)几个术语
②运算封闭性 --- 对于A上的2元运算*，若对于A的子 集B，任意的x,y∊B,有x*y∊B，则称运算*在B中的封闭的。 如，R中的普通减法运算，在整数集合Z中是？
R的普通减法运算，在N中？
R*的普通除法运算，在Z中？ R的普通加法运算，在{x|x与5互质}中？ R的普通加法运算，在{x|x是30的因子}中？ R的普通加法运算，在{x|x是30的倍数}中？ R的普通加法运算，在{x|x的某次幂可被16整除}中？
7.1 运算 7.1.2 运算 1)集合A上的k元运算—集合Ak到集合A 上的函数。
显然，k=1和2时就是所谓的一元运算和二元运算。 2)说明 ①作为函数的另一种形式，运算通常写成新的表示形 式，即表达式形式，如： - (<x,y>)=x-y x-y ②以后的讨论以二元运算为主，涉及的运算多为广义 的运算，比如出现运算符*并不代表普通的乘法运算（除非 特别申请）。
集合的并运算：零元，可消去？ 集合的笛卡尔积运算：零元，可消去？ 矩阵乘法运算：零元，可消去？ R上普通的加法运算：零元，可消去？
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课堂练习： P171 9 10 11 12 14 课外作业： P172 13
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7.2 代数系统
7.2.1 代数系统的代数常数 代数系统中运算的特殊元素，即运算的么元和零元统 称为代数常数。 例2 设A={0,1,2,3,4}，定义A上的运算㊉ 5 ，⊙ 5 分 别为模5的加，乘法，讨论<A ， ㊉5，⊙5 >的运算性质和 代数常数。 运算满足： ㊉5 0 1 2 3 4 交换律，结合律 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 0 3 4 0 1 4 0 1 2 0 1 2 3