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函数的奇偶性问题
一、选择题
1．已知函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3
＋bx 2
＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，
∴g （x ）＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A
2．已知函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．3
1
=
a ，
b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．
又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴3
1
=a ．故选A ．
3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2
－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）
A ．y ＝x （x －2）
B ．y ＝x （｜x ｜－1）
C ．y ＝｜x ｜（x －2）
D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2
－2x ，f （x ）为奇函数，
∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2
＋2x ）＝－x 2
－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)
(0)()(2)
(0),,
x x x f x x x x ⎧⎨
⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D
4．已知f （x ）＝x 5
＋ax 3
＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5
＋ax 3
＋bx 为奇函数，
f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A
5．函数1
11
1)(22+++-++=
x x
x x x f 是（
）
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5
B ．最大值－5
C ．最小值－1
D ．最大值－3
解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2
122)(x
x x f ---=
的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ．
8．若y ＝（m －1）x 2
＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2
＋2mx ＋3为偶函数，
∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2
＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2
＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．
9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1
1)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的
解析式为____1
1)(2
-=
x
x f ___．
解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，
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可得
11)()(--=
-x x g x f ，联立11
)()(-=+x x g x f ，∴
1
1
)1
111(21)(2-=----=
x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____． 三、解答题
11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－
m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（2
1
<
m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．
证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．
13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3
＋2x 2
—1，求f （x ）在R 上的表达式．
解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．
f （x ）＝x 3
＋2x 2
－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．
当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3
＋2（－x ）2
－1＝－x 3
＋2x 2
－1， ∴f （x ）＝x 3
－2x 2
＋1．
因此，.
)0()0()0(1
20
12)(,,2323<=>+--+=⎪⎩
⎪
⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．
14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．
因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．
点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．
15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），
求证f （x ）是偶函数．
解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，
∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，
∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。