1、 一简谐振动得表达式为)3cos(ϕ+=t A x ，已知0=t 时得初位移为0、04m, 初速度为0、09m ⋅s -1，则振幅A = ，初相位ϕ = 解：已知初始条件，则振幅为：(m )05.0)309.0(04.0)(222020=-+=-+=ωv x A 初相： οο1.1439.36)04.0309.0(tg )(tg 1001或-=⨯-=-=--x v ωϕ因为x 0 > 0, 所以ο9.36-=ϕ2、 两个弹簧振子得得周期都就是0、4s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0、5s 后，第二个振子才从正方向得端点开始运动，则这两振动得相位差为 。

解：从旋转矢量图可见，t = 0、05 s 时，1A ρ与2A ρ反相，即相位差为π。

3、 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，其动能就是总能量得 （设平衡位置处势能为零）。

当这物块在平衡位置时，弹簧得长度比原长长l ∆,这一振动系统得周期为解：谐振动总能量221kA E E E p k =+=，当A x 21=时4)2(212122EA k kx E p ===，所以动能E E E E p k 43=-=。

物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，lmgk ∆=， 振动周期gl km T ∆==ππ224、 上面放有物体得平台，以每秒5周得频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 ，物体将会脱离平台（设2s m 8.9-⋅=g ）。

解：在平台最高点时，若加速度大于g ，则物体会脱离平台，由最大加速度g A v A a m ===22)2(πω 得最大振幅为(m)100.11093.9548.94232222--⨯≈⨯=⨯==ππv g A 5、 一水平弹簧简谐振子得振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零与弹性力为零得状态，对应于曲线上得 点。

振子处在位移得绝对值为A 、速度为零、加速度为-ω2A 与弹性力-kA 得状态，对应于曲线得 点。

解：位移0=x ，速度0d d <-==A txv ω，对应于曲线上得 b 、f 点；若|x |=A , A a 2ω-=，又x a 2ω-=, 所以x = A ，对应于曲线上得a 、e点。

6、 两个同方向同频率得简谐振动，其振动表达式分别为：.0=t A -)215cos(10621π+⨯=-t x (SI) 与 )5sin(10222t x -⨯=-π (SI)它们得合振动得振幅为 ，初相位为 。

解：将x 2改写成余弦函数形式：)25cos(102)5sin(102222ππ-⨯=-⨯=--t t x由矢量图可知，x 1与x 2反相，合成振动得振幅(m )10410210622221---⨯=⨯-⨯=-=A A A ，初相21πϕϕ==三、计算题1、 一质量m = 0、25 kg 得物体，在弹簧得力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点、 弹簧得劲度系数k = 25 N ·m -1． (1) 求振动得周期T 与角频率ω．(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7、5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相φ．(3) 写出振动得数值表达式． 解：(1)1s 10/-==m k ω1分63.0/2=π=ωT s 1分 (2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7、5 cm ，v 0 < 0由 202)/(ωv +=x A得 3.1220-=--=x A ωv m/s 2分π=-=-31)/(tg 001x ωφv 或 4π/3 2分∵ x 0 > 0 ，∴ π=31φ(3) )3110cos(10152π+⨯=-t x (SI) 2分)s (m 30.1075.015.0101222020-⋅-=--=--=x A v ω(3) 振动方程为)310cos(1015)cos(2πϕω+⨯=+=-t t A x （SI ）2、 在一平板上放一质量为m =2 kg 得物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T = 21s ，振幅A = 4 cm ，求(1) 物体对平板得压力得表达式． (2) 平板以多大得振幅振动时，物体才能离开平板？xO Aρ2A ρ1ϕ1A ρ解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板得振动方程为t A x π=4cos (SI)t A x π4cos π162-=&&(SI) 1分 (1) 对物体有 x m N mg &&=- ① 1分 t A mg x m mg N ππ+=-=4cos 162&& (SI) ② 物对板得压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)t ππ--=4cos 28.16.192 ③ 2分(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分 04cos 162=ππ+t A mg (SI)Aqt 2164cos π-=π 1分若能脱离必须 14cos ≤πt (SI)即 221021.6)16/(-⨯=π≥g A m 2分3、 一定滑轮得半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳得一端系一质量为m 得物体，另一端与一固定得轻弹簧相连，如图所示。

设弹簧得倔强系数为k , 绳与滑轮间无滑动，且忽略摩擦力及空气得阻力。

现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。

解：取如图x 坐标，原点为平衡位置，向下为正方向。

m 在平衡位置，弹簧伸长x 0, 则有0kx mg = (1)现将m 从平衡位置向下拉一微小距离x ， m 与滑轮M 受力如图所示。

由牛顿定律与转动定律列方程， ma T mg =-1..................... (2) βJ R T R T =-21.................. (3) βR a = ........................... (4) )(02x x k T +=............... (5)联立以上各式，可以解出 x x m R Jka 22ω-=+-=，（※）（※）就是谐振动方程， 所以物体作简谐振动，角频率为222mR J kR m RJk +=+=ω第二章 波动(1)一、选择题x &&T 2 T 11、 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ，则该波得频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动得振幅A (m)依次为:[ ](A) 2/1，2/1，05.0- (B) 2/1，1，05.0-(C) 2/1，2/1，05.0 (D) 2 ，2，05.0解：平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式得波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=uxt v A y 比较，可得)s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。

故选C2、 一横波沿绳子传播时得波动方程为)104cos(05.0t x y ππ-= (SI)，则 [ ](A) 其波长为0、5 m ; (B) 波速为5 m ⋅s -1 ;(C) 波速25 m ⋅s -1 ; (D) 频率2 Hz 。

解：将波动方程与标准形式 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较，可知)s m (5.2),Hz (51-⋅==u v )m (5.055.2===v u λ故选A3、 一平面简谐波得波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI)，t = 0时得波形曲线如图所示。

则[ ](A) O 点得振幅为-0、1 m ； (B) 波长为3 m ；(C) a 、b 两点位相差 π21；(D) 波速为9 m ⋅s -1。

解：由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ，)s (m 32231-⋅=⨯==νλu a 、b 两点间相位差为：2422πλλπλπϕ===∆ab故选C4、 一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波速为u 。

设t = T /4时刻得波形如图所示，则该波得表达式为：[ ]]2)/(cos[(B)πω+-=u x t A y)]/(cos[(C)u x t A y +=ω])/(cos[(D)πω++=u x t A y解：由波形图向右移λ41，可得0=t 时波形如图中虚线所示。

在0点，0=t 时y= -A , 初相ϕ = π， 振动方程为)cos(0πω+=t A y 。

又因波向)(x -方向传播，所以波动方程为 (SI)])(cos[πω++=uxt A y 故选D5. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时得波形曲线如图所示。

若振动以余弦函数表示，且此题各点振动得初相取π-到π之间得值，则[ ](A) 0点得初位相为 00=ϕ (B) 1点得初位相为 21πϕ-=(C) 2点得初位相为 πϕ=2 (D)3点得初位相为 23πϕ-=解：波形图左移4/λ，即可得0=t 时得波形图，由0=t 得波形图（虚线）可知，各点得振动初相为: 2,0,2,3210πϕϕπϕπϕ-====故选D 二、填空题1、 已知一平面简谐波沿x 轴正向传播，振动周期T = 0、5 s ，波长λ = 10m , 振幅A = 0、1m 。

当t = 0时波源振动得位移恰好为正得最大值。

若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为2/λ处得振动方程为 。

当 t = T / 2时，4/λ=x 处质点得振动速度为 。

解：波动方程为(SI))1.02(2cos[1.0)](2cos[x t xT t A y -=-=πλπ,m 52==λx 处得质点振动方程为 )4cos(1.0ππ-=t y (SI) m 5.24==λx 处得振动方程为)4sin(1.0)24cos(1.0t t y πππ=-=振动速度 )4cos(4.0)4cos(41.0d d t t tyv ππππ=⨯==s 25.02==T t 时 )s (m 26.14.0)25.04cos(4.01-⋅-=-=⨯=πππv 2、 如图所示为一平面简谐波在 t = 2s 时刻得波形图，该谐波得波动方程就是 ；P 处质点得振动方程就是 。

（该波得振幅A 、波速u 与波长λ为已知量） 解：由t = 2s 波形图可知，原点O 得振动方程为O A]2)2(2cos[0ππ+-=t v A y ]2)2(2cos[πλπ+-=t uvA波向+x 方向传播，所以波动方程为]2)2(2cos[πλπ+--=u x t uv A y (SI) P 点2λ=x ，振动方程为]2)2(2cos[]2)22(2cos[πλππλλπ--=+--=t uA ut uA y P3、 一简谐波沿 x 轴正向传播。