第5章振动和波动
5-1一个弹簧振子0.5kg m =，50N m k =，振幅0.04m A =，求 (1)振动的角频率、最大速度和最大加速度；
(2)振子对平衡位置的位移为x =0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力； (3)以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。

解：（1）)s rad (105
.050
===
m k
ω
(2) 设
当(3) 5-2
解：
ν=
5-3式中1,k
10x ,弹簧2所受的合外力为
由牛顿第二定律得2122d ()d x
m k k x t =-+
即有2122()
d 0d k k x x t m
++
= 上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为
振动的频率为2π
ω
ν=
=
5-4如图所示，U 形管直径为d ，管内水银质量为m ，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。

振动周期5-5
5-6如图所示，轻弹簧的劲度系数为k ，定滑轮的半径为R 、转动惯量为J ，物体质量为m ，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。

习题
解：设任意时刻t ，物体m 离平衡位置的位移为x ，速率为v ，则振动系统的总机械能 式中
于是5-7已知5-8平衡位置距O '点为：000l x l k
+=+
以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox ，当物体运动到离开平衡位置的位移为x 处时，弹簧的伸长量就是x x +0,所以物体所受的合外力为
物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为
5-9两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。

在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。

求它们相差，并用旋转矢量图表示出来。

习题5-6图
解：根据题意，两质点分别在2A x =
和2
A
x -=处相向通过，由此可以画出相应的旋转矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为π3
4
π或32==ϕϕ∆∆
5-10
一简谐振动的振幅
A =24c ｍ、周期T =3s ，以振子位移x =12cm 、并向负方向运动时为计时起点，作出振5-11(1)x (2)x
当以(1)x 轴正向向上时：πϕ=-=)
(01.00m x
振动方程为))(1010cos(01.0m t x π+= (2)x 轴正向向下时：0)
(01.00==ϕm x
振动方程为))(1010cos(01.0m t x =
5-12劲度系数为k 的轻弹簧，上端与质量为m 的平板相联，下端与地面相联。

如图所示，今有一质量也为m 的物体由平板上方h 高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。

以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，
习题5-11图
习题5-9图
求振动周期、振幅和初相。

在x 则：
5-13，试求 (1)(2)(1)max 0=，得
（2max x 5-14上，两木块间最大静摩擦力为0.4ｍg ，求振动频率至少为多大时，上面的木块将相对于下面木滑动?
解：以平衡位置为坐标原点，向右为x 轴正方向，建立坐标系，小木块在x 处：
在最大位移处，F 最大，2
max F m x ω=
当mg A m f F s s μω>>2
max ，即时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：
振动频率至少应略大于1.4Hz 时，上面小木块相对于下面木块滑动。

5-15一台摆钟的等效摆长L =0.995ｍ，摆锤可上下移动以调节其周期。

该钟每天快1分27秒。

假如将此摆
习题5-12图
当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确?
解：设原摆钟周期为T ，钟走时准确时，其钟摆长为L '，周期为T '，则
而2
286487()0.9950.997(m)86400L T L L T ''⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
应将摆锤下移2mm 。

5-16一弹簧振子，弹簧的劲度系数 = 25N m k ，当物体以初动能0.2J 和初势能0.6J 振动时，求 (1)振幅；
(2)(3)(2)(3)解：A =
π/6，（1（2解：两个振动方程消去t 得：42
2
=+y x ,所以合振动轨迹是圆。

5-20质量为4536kg 的火箭发射架在发射火箭时，因向后反冲而具有反冲能量，这能量由发射架压缩一个弹簧而被弹簧吸收。

为了不让发射架在反冲终了后作往复运动，人们使用一个阻尼减震器使发射架能以临界阻尼状态回复到点火位置去。

已知发射架以10m s 的初速向后反冲并移动了3m 。

试求反冲弹簧的劲度系数和阻尼减震器提供临界阻尼时的阻力系数。

解：已知m=4536kg ，v 0=10m/s ，A=3m
反冲时，反射架动能转换成弹簧弹性势能22
01122
mv kA =00103v A ω=== 临界阻尼时0βω=，由m
2λ
β=
有，阻力系数：
5-21已知地壳平均密度约3
3
2.810kg m ⨯，地震波的纵波波速约 5.5×103
m ，地震波的横波波速约
3.5×103
m s ，计算地壳的杨氏模量与切变模量。

解:由U 5-22 2.83m ，求解：5-23若从坐标原点O (1)(2)x 15-24(SI)，试求 (1)(2)(3)(4)x A 5-25(1)相位差为π3的两点相距多远；
(2)在某点，时间间隔为310s t -∆=的两个状态的相位差是多少？
5-26有一波长为λ的平面简谐波，它在a 点引起的振动的振动方程为cos()y A t ωϕ=+，试分别在如图所示四种坐标选择情况下，写出此简谐波的波函数。

5-27图示为t =0时刻的平面简谐波的波形，求 (1)原点的振动方程； (2)(3)P (4)a
5-28
(1)
(2)5-29(1)原点?
(2)5-30A 、
波长?、波速u 均为已知。

(1)求原点处质元的初相位0ϕ； (2)写出P 处质元的振动方程； (3)求P 、Q 两点相位差。

5-31一线状波源发射柱面波，设介质是不吸收能量的各向同性均匀介质。

求波的强度和振幅与离波源距离的关系。

5-32设简谐波在直径d =0.10ｍ的圆柱形管内的空气介质中传播，波的强度I =1.0×10-2
2
W m ，波速为
习题5-28图
习题5-26图
习题5-30图
u =250m ，频率ν=300Hz ，试计算
(1)波的平均能量密度和最大能量密度各是多少? (2)相距一个波长的两个波面之间平均含有多少能量?
5-33一个声源向各个方向均匀地发射总功率为10W 的声波，求距声源多远处，声强级为100dB 。

5-34设正常谈话的声强621.010W m I -=⨯，响雷的声强20.1W m I '=，它们的声强级各是多少？
5-35纸盆半径R =0.1m 的扬声器，辐射出频率ν=103
Hz 、功率P =40W 的声波。

设空气密度ρ=1.293
kg m ，
声速u 5-36ν、波长为λ（1（25-37（1（2（35-38播，BC DP λ=，在0=t D
5-39火车A m )
(1)A (2)A 、B 相遇之后。

5-40一人造地球卫星发出ν=108
Hz 的微波信号，卫星探测器在某一时刻检测到由地面站反射回的信号与卫
星发出的信号产生了拍频ν∆=2400Hz 的拍，求此时卫星沿地面站方向的分速度。

5-41从远方某一星体发射的光谱，经研究确认其中有一组氢原子的巴尔末线系。

经测定，地球上氢原子的434nm 谱线与该星体上氢原子的589nm 谱线属于同一谱线。

试由此推断该星体是正在远离还是正在接近地球?它相对地球的运动速度是多大?。