1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点:1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件=A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}.2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件=A {球的最小号码为1}.3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}.4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}.5) 掷两颗骰子,记事件=A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点},=B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}.答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现.}),(),,({T H H H A =;}),(),,({T T H H B =;}),(),,(),,({H T T H H H C =.2) 由题意,可只考虑组合,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω; {})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A .3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1(Ω; {})10,9(,),10,2(),10,1( =A .4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则{}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω;{}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =.5) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)6,6(,),2,6(),1,6()6,2(,),2,2(),1,2()6,1(,),2,1(),1,1(Ω; {})1,6(),1,4(),1,2(),6,1(),4,1(),2,1(=A ;⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)6,6(),4,6(),2,6(),5,5(),3,5(),6,4(),4,4(),2,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(B . 注: 也可如下表示:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)6,6()6,2(,),2,2()6,1(,),2,1(),1,1( Ω; {})6,1(),4,1(),2,1(=A ;{})6,6(),5,5(),6,4(),4,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(=B .2. 一个工人生产了n 个零件,以事件i A 表示“他生产的第i 个零件是正品”)1(n i ≤≤.试用n A A A ,,,21 表示下列事件:1) 没有一个零件是次品； 2) 至少有一个零件是次品；3) 只有一个零件是次品； 4) 至少有两个零件不是次品.答案: 1) n i i A 1=; 2) n i i A 1=; (亦即:全部为正品的对立事件) 3))]([11 n i n i j j j i A A =≠=⋂; 4) )])(([)(111 n i n ij j j i n i i A A A =≠==⋂⋃.3.设A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件:1）A 发生;2）只有A 发生;3）A 与B 发生而C 不发生;4）三个事件都发生;5) 三个事件中至少有一个发生;6) 三个事件中至少有两个发生;7) 三个事件中恰好发生一个;8) 三个事件中恰好发生两个;9) 三个事件都不发生;10) 三个事件中不多于两个发生;11) 三个事件中不多于一个发生.解:1) A ; 2) C B A ; 3) C AB ; 4) ABC ; 5) C B A ⋃⋃; 6) BC A C B A C AB ABC ⋃⋃⋃(AC BC AB ⋃⋃= B A C A C B ⋃⋃=) (等价说法:至少有两个不发生的对立事件); 7) C B A C B A C B A ⋃⋃; 8) BC A C B A C AB ⋃⋃; 9) C B A (=C B A ⋃⋃);10）ABC (=C B A ⋃⋃)(等价说法:至少有一个不发生.); 11) C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃ (=B A C A C B ⋃⋃)(即:至少有两个不发生).4. 试把事件n A A A ⋃⋃⋃ 21表示成n 个两两互不相容事件之并.答案: n n A A A A A A A A A 11321211-⋃⋃⋃⋃ .7. 一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停,乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的.求没有2位乘客在同一层离开的概率.解: 所有可能情况为79种,则所求概率为 7799A p =.9. 设甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中有c 只白球d 只黑球.在两袋中各任取一只球,求所得两球颜色不同的概率.解: 所有可能情况有))((d c b a ++种,则所求概率为 ))((d c b a bc ad p +++=. 11. 从n 双尺码不同的鞋子中任取r 2(n r <2)只,求下列事件的概率:1) 所取r 2只鞋子中没有两只成对;2) 所取r 2只鞋子中只有两只成对;3) 所取r 2只鞋子恰好配成r 对.解: 样本空间可考虑有⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 22种可能结果,古典概型,则所求概率分别为 1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r n p r 22]12[221⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r n r 22222;2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r n r n n p r 22]12[221221222⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-r n n r n r 22222122; 3) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r n p r 22]22[3⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r n 22.12. 设有n 个人,每人都被等可能地分配到)(n N N ≥个房间中的任一间.求下列事件的概率:1) 指定的n 间房里各住一人;2) 恰有n 间房,其中各住一人.解: 所有可能情况为n N 种,则所求概率分别为 1) 1!n n n n A n p N N ==; 2) 2!n N n n N n n A p N N⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭==.13. 甲乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先摸,不放回,直至有一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.解: 甲先摸到白球,则可能结果如下(注: 至多有限次摸球):W 甲,W B B 甲乙甲,W B B B B 甲乙甲乙甲,W B B B B B B 甲乙甲乙甲乙甲,① 当b 为偶数时,则所求概率为211-+⋅-+-⋅+++=b a a b a b b a b b a a p 甲 4332211-+⋅-+-⋅-+-⋅-+-⋅++b a a b a b b a b b a b b a b aa a ab a b b a b ⋅+⋅+-+-⋅+++112211 )2()1()1(1[-+⋅-+-++=b a b a b b b a a ])1()2()1(!aa b a b a b ⋅+-+⋅-+++ .② 当b 为奇数时,则所求概率为211-+⋅-+-⋅+++=b a a b a b b a b b a a p 甲 4332211-+⋅-+-⋅-+-⋅-+-⋅++b a a b a b b a b b a b b a b 12121b b a a b a b a a -++⋅⋅++-++ )2()1()1(1[-+⋅-+-++=b a b a b b b a a ])1()2()1(!+-+⋅-+++a b a b a b . 17.口袋中有12-n 只白球,n 2只黑球,一次取出n 只球,发现都是同色球,问这种颜色是黑色的概率为多少?解: 记事件}{个球为同一种颜色所取n A =, }{个球全为黑球所取n B =, 要求 =)|(A B P ?则 )()()|(A P AB P A B P =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n n n 14]212[142 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n 2122!!)!2()!1(!)!12(!!)!2(n n n n n n n n n ⨯+-⨯-⨯=32=.18. 设M 件产品中有m 件废品,从中任取两件.1) 在这两件中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率;2) 在这两件中有一件是正品的条件下,求另一件是废品的概率.解: 1) 记事件},{有废品任取两件=A , },{均为废品任取两件=B ,则所求概率为 )()()|(1A P AB P A B P p ==)()(A P B P = ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=22122M m M M m ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=222m M M m 121---=m M m . 2) 记事件},{有正品任取两件=C ,},{有一正品一件废品任取两件=D ,则所求概率为)()()|(2C P CD P C D P p ==)()(C P D P =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221211M m M m m M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=22)(m M m M m 12-+=m M m .19. 袋中有黑、白球各一个,一次次从中摸球,如果摸到白球,则放回白球,且再加入一个白球,直至摸到黑球为止.求摸了n 次都没有摸到黑球的概率.解: 记事件i A :第i 次摸到白球, n i ,,2,1 =, 要求: =)(21n A A A P ?由计算概率的乘法定理,则所求概率为=)(21n A A A P )(1A P )|(12A A P ⋅)|(213A A A P ⋅)|(11-n n A A A P1433221+⨯⨯⨯⨯=n n 11+=n .21.某射击小组有20名射手,其中一级射手4人,二级8人,三级7人,四级1人,各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解: 记事件=B {所选射手能进入比赛}, =i A {所选射手为第i 级}, 4,3,2,1=i . 已知 204)(1=A P , 208)(2=A P , 207)(3=A P , 201)(4=A P , 9.0)|(1=A B P , 7.0)|(2=A B P , 5.0)|(3=A B P , 2.0)|(4=A B P .用全概率公式,则所求概率为∑=⋅=41)|()()(i i i A B P A P B P2.02015.02077.02089.0204⨯+⨯+⨯+⨯=645.0=.23.甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中,废品各占5%,4%,2%.从它们的产品中任取一个恰好是废品,问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少?解: 记事件321,,A A A 表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产;事件=B {所取产品是废品}. 要求:=)|(B A P i ? (3,2,1=i )已知 25.0)(1=A P , 35.0)(2=A P , 40.0)(3=A P ,05.0)|(1=A B P , 04.0)|(2=A B P , 02.0)|(3=A B P .则 ∑=⋅=31)|()()(i i i A B P A P B P02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯=0345.0=.由贝叶斯公式,则所求概率分别为)|(1B A P )()(1B P B A P =)()|()(11B P A B P A P ⋅=0345.005.025.0⨯=3623.06925≈=, )|(2B A P )()|()(22B P A B P A P ⋅=4058.06928≈=, )|(3B A P )()|()(33B P A B P A P ⋅=2319.06916≈=.24.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车,则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;而乘飞机不会迟到.可他迟到了,问他是乘火车来的概率为多少?解: 记事件4321,,,A A A A 分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来.事件=B {朋友迟到}. 要求:=)|(1B A P ?已知 3.0)(1=A P , 2.0)(2=A P , 1.0)(3=A P , 4.0)(4=A P ,41)|(1=A B P , 31)|(2=A B P , 121)|(3=A B P , 0)|(4=A B P . 则 ∑=⋅=41)|()()(i i i A B P A P B P04.01211.0312.0413.0⨯+⨯+⨯+⨯=15.0=. 由贝叶斯公式,则所求概率为)|(1B A P )()|()(11B P A B P A P ⋅=5.015.0413.0=⨯=.25. 装有)3(≥m m 个白球和n 个黑球的罐子中丢失一球,但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两个球,结果都是白球,求丢失的是白球的概率.解: 记事件=A {丢失白球},=B {任取两个球都是白球}.要求:=)|(B A P ?由 )|()()|()()|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P ⋅+⋅⋅==, 已知n m m A P +=)(, nm n A P +=)(, )|(A B P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121n m m )2)(1()2)(1(-+-+--=n m n m m m , )|(A B P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=212n m m )2)(1()1(-+-+-=n m n m m m . 则所求概率为=)|(B A P )2)(1()1()2)(1()2)(1()2)(1()2)(1(-+-+-⨯++-+-+--⨯+-+-+--⨯+n m n m m m n m n n m n m m m n m m n m n m m m n m m 22-+-=n m m .27. 一架轰炸机袭击1号目标,另一架袭击2号目标,击中1号目标的概率为0.8,击中2号目标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率.解: 记事件=i A {击中i 号目标}, 2,1=i .要求:=⋃)(21A A P ?方法一: =⋃)(21A A P )()()(2121A A P A P A P -+)()()()(2121A P A P A P A P ⋅-+=90.05.08.05.08.0=⨯-+=.方法二: =⋃)(21A A P )(121A A P ⋃-)(121A AP -= )()(121A P A P ⋅-=90.0)5.01()8.01(1=-⨯--=.29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲、乙命中的概率分别为21,p p ,甲先射,谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少?解: 记事件=i A {第i 轮甲命中目标}, =i B {第i 轮乙命中目标}, ,2,1=i . 则{甲获胜} ⋃⋃⋃=322112111A B A B A A B A A ,所以 =}{甲获胜P )(322112111 ⋃⋃⋃A B A B A A B A A P+++=)()()(322112111A B A B A P A B A P A P+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+=)()()()()()()()()(322112111A P B P A P B P A P A P B P A P A P+⋅-⋅-+⋅-⋅-+=12211211)]1()1[()1()1(p p p p p p p )1()1(1211p p p -⋅--=21211p p p p p ⋅-+=.由于 {乙获胜} ⋃⋃⋃=332211221111B A B A B A B A B A B A ,所以 =}{乙获胜P )(332211221111 ⋃⋃⋃B A B A B A B A B A B A P +++=)()()(332211221111B A B A B A P B A B A P B A P+⋅-⋅-+⋅-⋅-+⋅-=22231222121)1()1()1()1()1(p p p p p p p p )1()1(1)1(2121p p p p -⋅--⋅-=212121)1(p p p p p p ⋅-+⋅-=. 或: =}{乙获胜P }{1甲获胜P -212111p p p p p ⋅-+-=212121)1(p p p p p p ⋅-+⋅-=.2. 一口袋中装有m 个白球，n − m 个黑球，连续无放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，此时取出了X 个白球，求X 的分布律。