第十一讲 无穷级数一、考试要求1、 理解（了解）级数的收敛、发散以及收 敛级数的和的概念。

2、 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

3、 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

4、 掌握（会求）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

5、 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

6、 掌握e x ,sinx,cosx,ln(1+x)与（1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将简单函数间接展开成幂级数。

7、 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-L ，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

二、内容提要 1 数项级数 (1) 定义(2) 性质：1）若∑∞=1n n u 加括号发散⇒unn =∞∑1发散;2）若u n n =∞∑1收敛⇒lim n n u →∞=02 正项级数 (1) 定义(2) 判敛：1) {}S n 有界；2) 比较法；3) 比值法；4) 根值法3 交错级数 ()--=∞∑111n n n u4 一般项级数绝对收敛，条件收敛 5 函数项级数 幂级数:(1) 收敛半径、收敛区间、收敛域(2) Abel 定理：若已知a x x n n n =∞∑-00()在x=a 点收敛（发散），则当x x a x -<-00 (x x a x ->-00)时a x x n n n =∞∑-00()绝对收敛（发散）。

(3) 性质：连续，逐项求导，逐项积分6 函数的幂级数展开7 傅里叶级数(1) f x l f x ()()+=2,I x ∈∀，（或只在上有定义],[l l -,但在中可积],[l l -），则f （x ）的付里叶级数定义为f x a a n x l b n xln n n ()~(cos sin )012++=∞∑ππ ，其中a l f x n x l dx n l l =-⎰1()cos π, b l f x n xl dx n l l =-⎰1()sinπ, n=0,1,2,…称为f （x ）的付里叶系数。

(2) 收敛定理：设)(x f 定义在),(+∞-∞中（或只在上有定义],[l l -），在上],[l l -满足：（i ）除可能的第一类间断点外均连续，（ii ）只有有限多个极值点，则f （x ）的付里叶级数在),(+∞-∞中（或只在上],[l l -）处处收敛，且其和函数为∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n l x n b l x n a a x S ππ =lx x x l f l f x f x f x f ±=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-++-间断连续,,2)0()0(2)0()0(),((3) 常见情况π=l ，此时∑∞=++10)sin cos (2~)(n n n nx b nx a a x f其中 ⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1, b f x nxdx n =-⎰1πππ()sin , n=0,1,2,…(4) 如果)(x f 是上],[l l -的偶函数，或定义在[0，]l 上的函数作偶延拓，则∑∞=+10cos2~)(n n lxn a a x f π，其中dx l x n x f l a l n ⎰=0cos )(2π；如果)(x f 是上],[l l -的奇函数，或定义在[0，]l 上的函数作奇延拓，则∑∞=1sin ~)(n n l xn b x f π，其中dx lx n x f l b l n ⎰=0sin )(2π三、 重要公式与结论1、对于级数∑∞=1n n u ，令∑==nk k n u S 1，则（1）若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u ==∞→n n S lim 1lim -∞→n n S ，且=∞→n n u lim 0)(lim 1=--∞→n n n S S（2）若,0lim ≠∞→n n u 或该极限不存在，则∑∞=1n n u 发散。

2、设b a ,都是非零常数，则有（1）若∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛，则∑∞=+1)(n n n bv au 收敛；（2）若∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 中一个收敛，而另一个发散，则∑∞=+1)(n n n bv au 发散； （3）若∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都发散，则∑∞=+1)(n n n bv au 的敛散性不确定。

3、设nn n u u1lim +∞→=ρ（或nn u =ρ），如果,1>ρ则∞=∞→n n u lim ，且∑∞=1n n u 和∑∞=1n n u 都发散。

4、若幂级数n n n x x a )(01-∑∞=在1x 处收敛，则对任何满足010x x x x -<-的x ，n n nx x a)(01-∑∞=绝对收敛；若幂级数n n n x x a )(01-∑∞=在1x 处发散，则对任何满足010x x x x ->-的x ，n n n x x a )(01-∑∞=发散。

5、幂级数的变换公式（1）设n n n x a ∑∞=1的收敛域为1I ，其和函数为)(x S ，)(x f 是定义在R 上的一个已知函数，则n n n x f a )]([1∑∞=的收敛域为{}12)(:I x f R x I ∈∈=，且其和函数为))((x f S ；（2）常用的变换是k x x x f )()(0-=，其中k 为正常数。

6、对于任意项级数∑∞=1n n u ，若∑∞=1n n u 发散，且是由比值或根值判别法判定的，则∑∞=1n nu 也发散。

7、几何级数∑∞=-11n n aq在1<q 时收敛，且qaaq n n -=∑∞=-111；当1≥q 时发散。

8、p 级数∑∞=11n p n （或∑∞=1ln 1n pn n ），当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

9、nx x nx x n n n --=∞=++++=-∑11211211 ()x nx x x n x n nn =++++=--=∞∑2121 l n ()10、若f(x)≥≥01()x 且单调下降，则f n n ()=∞∑1与f x dx ()1+∞⎰同敛散11、 e x x x n xn=+++++122!! s i n ()()!x n x n n n =-+=∞+∑121021c o s ()()!x n x n n n=-=∞∑1202l n ()()1231231+=-+-+-+-x x x x x nn n1112-=+++++xx x x n ++--++-++=+nx n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα四、典型题型与例题题型一、数项级数敛散性的判定解题思路：1、 若,0lim ≠∞→n n u 则∑∞=1n n u 发散；否则进一步判断。

2、若∑∞=1n n u 为正项级数，先化简n u ，视其特点选择适当的判别法：（1） 若n u 中含有αn1（或n n p ln 1α）， 则可与p 级数（或对数p 级数）比较；（2）若n u 中含有n 的乘积的形式（包括!n ），则可考虑用比值判别法； （3）若n u 中含有形如)(n f a 的因子，则可考虑用根值判别法；（4） 以上方法均失效，则可利用已知级数的敛散性质，结合敛散的定义和性质，考察其收敛性。

3、若∑∞=1n n u 为任意项级数，则可用方法1和2判断∑∞=1n n u 的敛散性（1） 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 绝对收敛； （2）若∑∞=1n n u 发散，则看∑∞=1n n u 是否是交错级数，若是，用莱布尼兹判别法判断∑∞=1n n u 是否条件收敛。

1、具体数项级数的敛散性 例1、 ∑∞=++11)1(:n nnn nn n判断级数敛散性例2、判定下列级数的敛散性(1) (ln )111n n n n -+=∞∑ ,[因为 111212n n n n -+⋅ln ~, 所以(ln )111nn n n -+=∞∑ 收敛](2) (cos )111-=∞∑n n , [ 因为 111212-⋅cos ~n n 所以(cos )111-=∞∑n n 收敛 ](3) sin(ln )n n n n π+-=∞∑11, [ 注：f x x x f x x ()ln ,()(=-'<>100充分大）故 n n u n ln 1sin -= 单调递减，且u n n →→∞0(),从而∑∞=--1ln 1sin )1(n n n n 条件收敛 ](4) (sin )n n n n α211-=∞∑[sin n n n α21=∞∑绝对收敛，11n n =∞∑发散，故(sin )n n n n α211-=∞∑必发散] 2、抽象级数的敛散性（通常以选择题的形式出现）例3、 设a a n n n >=∞∑01且收敛，λπ∈(,)02，则级数()(tan )-=∞∑121n n n n n a λ(A ) 绝对收敛， (B) 条件收敛(C) 发散 (D)敛散性与λ有关例4、 设λ>0，a a n n n >=∞∑01且收敛，则级数()-+=∞∑121nn n a n λ(A ) 绝对收敛， (B) 条件收敛(C) 发散 (D)敛散性与λ有关例5、下列选项正确的是(A) 若u n n =∞∑1收敛，则u n n 21=∞∑必收敛(B) 若u n ≥0单调下降，且lim ,n n u →∞=0则()ln -=∞∑11n n n u 必收敛(C) 若u n ≥0且u n n =∞∑1收敛，则u n n =∞∑1必收敛(D) 若()-=∞∑11n n n u 收敛，则ln()11+=∞∑u n n 必收敛例6、若级数a n n =∞∑1与b n n =∞∑1都发散，则 (A) ()ab nn n +=∞∑1发散， (B) a bn nn =∞∑1 发散(C)()ab nn n +=∞∑1发散 (D)()ab nn n 221+=∞∑发散例7、(02 1) 设)3,2,1(0 =≠n u n ，且1lim =∞→nn u n，则级数)11()1(111+∞=++-∑n n n n u u(A) 发散 (B) 绝对收敛(C) 条件收敛 (D) 收敛性根据所给条件不能判定例8（033）设2n n n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛. (B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛. (C) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定例9、（041）设∑∞=1n n a 为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n n a 收敛.（B ）若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n n a 发散.（C ）若级数∑∞=1n n a 收敛，则0lim 2=∞→n n a n .（D ）若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim .例10、（053） 设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n n a 发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a 发散.(C) )(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D))(1212∑∞=--n n n a a收敛例11、（061）若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数(A) 1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)n n n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. 3、含参数数项级数的敛散性例12、判断下列级数的敛散性∑∞=>++1).0()1()2ln(n na na n例13、 判别级数∑∞=>+-1)0(,1)1(n nn a a an 的敛散性，当收敛时，进一步判断是绝对收敛还是条件收敛？4、综合题 例14、（设函数f(x)在),(+∞-∞上有定义，在x=0的某个邻域内有一阶连续导数且0)(lim 0>=→a x x f x ，证明)1()1(1n f n n ∑∞=-收敛，而)1(1n f n ∑∞=发散.例15（041）设有方程01=-+nx x n ，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.题型二、 求函数项级数的收敛域及幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 解题思路：例16、 求nn xn )11()1(+-∑的收敛域.例17、求 ∑∞=-1122n n n x 的收敛域.例18、求幂级数n n n nx n )21(2)1(1--∑∞=的收敛域。