1是否存在实数x使得tan x+和
cot x+都是有理数。

2在1,2，…,2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数
3在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。

证明：循环赛结束后，某支南方队积分最高。

4在一次考试中333个同学共答对了1000道题。

答对至多3题者为不及格，答对至少6道题者为优秀。

已知不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同。

问：成绩不及格者和
优秀者人数哪个多
5目前有n（n≥2）为乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能取值。

6将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应
边．试求这些正方形边长之和的最小值．
7对于整数n ≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m+1，…，m+n －1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．
n m D A C B
A 1 D 1
8如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。

如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。

现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。

问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。

9一种密码锁的密码设置是在正n边
A A A的每个顶点处赋值0和1形12n
两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
10设A是一个9
3 的方格表，在每一
个小方格内各填一个正整数．称A中
的一个)9
m
m方格表为“好矩形”，
≤
n
⨯n
≤
1(≤
1,3
≤
若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。