数论的产生
人类从学会计数开始就一直和自然数 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了， 自然数打交道了， 由于实践需要，数的概念被扩充，自然数称做正整 数，而它们的相反数叫做负整数，介于两者间的中 性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0 性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0），它 们合起来叫做整数 们合起来叫做整数。 整数。 人们在长期对整数进行运算的应用和研究时逐 步熟悉了整数的特性. 步熟悉了整数的特性.而利用整数的一些基本性质， 可以进一步探索更多趣味复杂的数学规律。这门学 科最初是从研究整数开始的，被称为整数论。后来 整数论进一步发展，逐渐产生了新名词——数论。 整数论进一步发展，逐渐产生了新名词——数论。 确切的说，数论就是一门研究整数性质 确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 研究整数性质的学科
初等数论& 初等数论&小学数学 The Relation
小学教学与初等数论关系密切（尤其 体现在小学奥数中）最基本的问题包 含：数的整除，余数问题，奇数与偶 数，质数与合数，约数与倍数，完全 平方数的整除 接下来将挑选以上内容的一部分，给 出小学例题进行实际说明。
一、余数问题
例题1：一个三位数恰等于它各位数字乘积的5 例题1：一个三位数恰等于它各位数字乘积的5倍， 请求此三位数。 解法： ①设此三位数是“abc” ①设此三位数是“abc”=100a+10b+c ② 根据题意：100a+10b+c =5abc， 根据题意：100a+10b+c =5abc， 推理可知c整除5且不可为0 推理可知c整除5且不可为0，∴ c=5 ③将c=5带入，25ab= 100a+10b+5 c=5带入，25ab= 得5ab=20a+2b+1;可知5∣（1+2b） 5ab=20a+2b+1;可知5 1+2b） b是0~9之间一位的整数， ∴ b=2或7 0~9之间一位的整数， b=2或 ④ b=2时，a=-0.5；不合理，舍去 b=2时，a=-0.5；不合理，舍去 b=7时，a=1；合理，可取 b=7时，a=1；合理，可取 结论：推得此数为175 结论：推得此数为175
二、奇数与偶数，质数与合数
例题：已知两个质数相加等于999，请问这两个质 例题：已知两个质数相加等于999，请问这两个质 数的积是多少？ 解法： ①999是个奇数，因此它必定是一个偶数与 999是个奇数，因此它必定是一个偶数与 一个奇数的和. 一个奇数的和. ②已知两者都是质数，而偶数中属于质数的 只有 数字2 数字2 ③推得：这两个数是2和97.乘积为194 推得：这两个数是2 97.乘积为194 PS：本题看似简单，实际上非常巧妙地融合了奇 PS：本题看似简单，实际上非常巧妙地融合了奇 偶数、合质数的内容。知识点虽然基本，但若要马 上联系起来，不仅考验学生掌握的娴熟程度，还考 验他们思维的灵敏度。综上所述，本题是“ 验他们思维的灵敏度。综上所述，本题是“用青菜 萝卜制出一道精致美味” 萝卜制出一道精致美味”。
写在最后的话
数论的知识广博深奥，仅分类就有初等数论、几何数论、计 算数论、 超越数论、 组合数论、 解析数论 、代数数论几大层 面。 我们所接触初等数论，意指使用不超过高中程度的初等代数 处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重 要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等 在数论的学习过程中，导师不止一次强调它“千姿百态” 在数论的学习过程中，导师不止一次强调它“千姿百态”： 每题的解法都不同，无规律套用；每次的思维都不同，要看题 寻法等等。但个人感觉：虽是千变万化，但亦万变不离其宗— 寻法等等。但个人感觉：虽是千变万化，但亦万变不离其宗— —无论如何都要娴熟地掌握基本知识，自我融会贯通，解题时 才能反应迅捷、运用自如。 亲身体验过，明白数论的确奥妙无穷，但小学教学接触的 “部分初等数论”只是“数论” 冰山一角，更不用相比数学， 部分初等数论”只是“数论” 乃至科学世界了。而小学数论虽然浅显，但若思维不够活跃、 知识储备不足，照样会成为一大难题。THE END，谢谢观看 知识储备不足，照样会成为一大难题。THE END，谢谢观看
三、数的整除
例题：证明33不能整除形如“71x5y” 例题：证明33不能整除形如“71x5y”的数 解法： ①假设可以整除，则必有3 ①假设可以整除，则必有3与11 ∣ 71x5y 整除条件：7+1+x+5+y=3n ②被3整除条件：7+1+x+5+y=3n 被11整除条件（7+x+y）-（5+1）=11b 11整除条件（7+x+y） 5+1） 71-5xy=11a（难用，舍弃） 71-5xy=11a（难用，舍弃） ③x、y必定是0~9之间的整数 必定是0~9之间的整数 ④结合② ③ 推ห้องสมุดไป่ตู้3与11 ∣ 71x5y无法成立 推出3 71x5y无法成立 ∴ 33不能整除形如“71x5y”的数得证。 33不能整除形如“71x5y”