[文件] sxcbk0024.doc[科目] 数学[关键词] 初二几何/教学结构/尺规作图/角平分线[标题] 角平分线和尺规作图[内容]角平分线和尺规作图【教学结构】一角平分线1.定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
这个定理说明了角平分线上的点的性质,是角平分线的性质定理。
2.定理2:到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。
这个定理是制定某一个点是否在角的平分线上,是角平分线的判定定理。
它是定理1的逆定理。
3.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
这里包含两层意思,在一个角内,到角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上;反过来,角的平分线上的点到角的两边距离都相等。
4.利用定理1和定理2可以证明两条线段相等或两个角相等。
因此,在证题时,应注意直接应用这两个定理解决问题,避免绕远路,仍去找全等三角形,结果相当于重新证一次定理。
5.互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
6.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理。
7.定理作为一个命题一定有逆命题,由于逆命题不一定都是真命题,因此并不是所有的定理都有逆定理。
例如:“对顶角相等”的逆命题是假命题,所以,“对顶角相等”这个定理没有逆定理。
二基本作图1.尺规作图:在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,叫做尺规作图。
(直尺应设有刻度)2.基本作图:最基本、最常用的尺规作图,通常称基本作图。
3.五种常用的基本作图:(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)平分已知角;(4)经过一点作已知直线的垂线;(5)作线段的垂直平分线。
4.掌握以下几何作图语句:(1)过点×、点×作直线××;或作直线××,或作射线××;(2)连接两点×、×;或连结××;(3)在××上截取××=××;(4)以点×为圆心,××为半径作圆(或弧);(5)以点×为圆心,××为半径作弧,交××于点×;(6)分别以点×、点×为圆心,以××、××为半径作弧,两弧相交于点××;(7)延长××到点×,或延长××到点×,使××=××。
5.学过基本作图后,在以后的作图中,遇到属于基本作图的地方,只须用一句话概括叙述就可以了,如:(1)作线段××=××;(2)作∠×××=∠×××;(3)作××(射线)平分∠×××;(4)过点×作××⊥××,垂足为×;(5)作线段××的垂直平分线××。
【解题点要】例1:判断题:1.三角形的角平分线是射线()2.三角形的三条角平分线的交点和三个顶点的距离相等()3.原命题是真命题,它的逆命题也是真命题()4.因为每个命题都有逆命题,所以每个定理也都有逆定理()5.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题()解:第1题:“×”。
因为三角形的角平分线是三角形一个角的平分线和这个角对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段。
它是线段而不是射线。
一个角的平分线才是射线。
第2题:“×”。
因为三角形的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等。
第3题:“×”。
因为原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题,例如:“对顶角相等”的逆命题:“相等的角是对顶角”就是假命题。
第4题:“×”。
因为每一个命题都有逆命题是对的。
但是一个定理的逆命题经过证明是真命题,它才能叫做这个定理的逆定理。
所以每个定理不一定有逆定理。
第5题:“×”。
“全等三角形的对应角相等”的逆命题是:“三个角分别相等的两个三角形全等”显然是错误的。
例2 已知:如图,△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点O,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,D、E、F分别是垂足。
求证:点O在∠A的平分线上。
分析:此题要注意区分何时用判定定理,何时用性质定理。
证明:∵点O在∠B的平分线上(已知)又∵OD⊥AB,OE⊥BC(已知)∴OD=OE(角平分线上的点到角两边的距离相等)同理:OD=OF∴OE=OF∴点O在∠A的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)例3下列各语句为作图范句的画“√”,不是作图范句的画“×”。
1.过P作直线PA()2.过点P,点A,作直线PA()3.连结两点MN()4.延长AB到AD()5.延长AB到D()6.延长AB到D,使BD=AB()7.在AD上截取AE=a ( )8.以点P 为圆心,以m 为半径作圆( )解:1.过一点可以作无数条直线∴“×”2.因为两点确定一条,∴“√”3.连结两点MN ,得到线段MN ,∴“√”4.应为延长AB 到D 点∴“×”5.“√”6.“√”7.“√”8.“√”例4 已知:如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠CAB=60,AD为∠BAC 的平分线,D 到AB 的距离为5.6cm求:BC 的长分析:此题要充分利用角平分线的性质定理,避免绕远路,去证三角形全等。
证明:在Rt △ABC 中,∵∠CAB=60°∴∠B=30°(直角三角形两锐角互余)∵AD 是∠BAC 的平分线(已知)∴∠1 = 12∠CAB=30°(角平分线定义) ∴∠1 = ∠B ∴AD = DB∵D 到AB 的距离为5.6cm 即DE=5.6cm∴CD = DE =5.6cm∵Rt △DEB 中 ∵∠B=30°,DE=5.6cm∴DB = 2DE=11.2(Rt △中30°角所对边等于斜边的一半)∴BD = 11.2∴BC = CD + DB =5.6+11.2=16.8(cm)【同步练习】一、选择题1.已知:如图1,B E ,C F 是△ABC 的角平分线,B E ,CF 相交于D ,若∠A=50°,则∠BDC=( )A. 70°B.120°C.115°D.130°2.已知:如图2,△ABC 中,AB = AC ,BD 为∠ABC 的平分线,∠BDC = 60°,则∠A =( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3.三角形中,到三边距离相等的点是( )A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点4.已知P 点在∠AOB 的平分线上,∠AOB = 60°,OP = 10 cm ,那么P 点到边OA 、OB的距离分别是()A. 5cm、53cmB. 4cm、5cmC. 5cm、5cmD. 5cm、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是()A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角6.已知:如图3,△ABC中,∠C = 90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且AB = 10cm,BC= 8cm,CA = 6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于()cmA. 2、2、2B.3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1.命题:“两直线平行,同旁内角互补”的逆命题是,它是命题。
2.角平分线可以看作是的点的集合。
3.已知:△ABC中,∠C = 90°,角平分线AD分对边BD:DC = 3:2,且BC = 20cm,则点到AB的距离是cm。
4.命题“如果a = b,那么| a | = | b |”的命题是,它是命题。
三、简答题1.已知:如图4,△ABC的外角∠FAC的平分线为AE,∠1=∠2,AD = AC求证:DC∥AE Array2.已知:如图5,△ABC中,∠C= 90°,点D是斜边AB的中点,AB = 2BC,DE⊥AB交AC于E求证:BE平分∠ABC3.已知线段AB,求线段AB的四等分点。
4.已知:如图6,△ABC中,∠A= 90°,AB = AC = BDED⊥BC求证:AE = DE =DC5.已知:线段a和∠α求作△ABC,使AB = AC = a,∠A= ∠α【参考答案】一1. C 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A二1.同旁内角互补,两直线平行,真2.到一个角的两边距离相等的所有3. 84.如果| a | = | b |,那么a = b,假三1.∵AD = AC,∴∠ADC=∠ACD,△ABC中∵∠FAC=∠ADC + ∠ACD,又∠1=∠2=12∠FAC ∴∠ADC=12∠FAC=∠1,∴DC∥AE2.∵D是AB中点∴BD=12AB,∵AB = 2BC ∴BC=12AB ∴BD = BC又∵DE⊥AB∠C=90°,∴∠C=∠BDE=90°,又BE = BE,∴R +△BDE≌Rt△BEC(HL)∴∠DBE = ∠EBC ∴BE平分∠ABC3.略4.连结BE,可证△ABE≌△BDE(HL)∴AE = DE ∵AB = AC ∠A=90°∴∠C=45°又∵DE⊥BC ∴∠DEC = 45°∴DE = DC ∴AE = DE = DC5.略。