湛江一中2022届高二级第一学期数学周六测试题（十）班别： 姓名： ， 考试时间：2020/11/28一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 2.已知向量a=(cos x,sin x),b=(sin x,cos x),f(x)=a ·b,要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将f(x)的图象( ) A 、向左平移个单位B 、向右平移个单位C 、向左平移个单位D 、向右平移个单位3、直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．已知双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，则双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝50B ．x 2－y 2＝24C ．x 2－y 2＝－50D ．x 2－y 2＝－245. 设p:f(x)=2x 2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,q:m ≥-5,则⌝p 是⌝q 的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )A ．13B ．23C ．23D ．2237．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( ) A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12 D ．b 2＝28、已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x24－3y24＝1 B.x24－4y23＝1 C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，每小题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．9.若直线mx+ny=4和☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数错误的为( )A、2个B、至多一个C、1个D、0个10．对于曲线C：x24－k＋y2k－1＝1，给出下面四个命题，其中正确命题有（）A、曲线C不可能表示椭圆；B、当1<k<4时，曲线C表示椭圆；C、若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；D、若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<k<5 2.11.若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”,下列曲线中不存在“Ω点”的是( )A、+=1B、+=1C、x2-=1D、x2-y2=112.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,|FB|≤|FA|≤2|FB|,则椭圆C的离心率e的取值不可能是( )A、B、C、D、二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若椭圆x2a2＋y2b2＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________．14.抛物线y=x2上的一动点到直线l:x-y-1=0距离的最小值是.15.扎花灯是中国一门传统手艺,逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯.现有一个花灯,它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来(如图),花灯的下顶点为A,上顶点为B,AB=8米,在它的内部放有一个半径为1米的球形灯泡,球心C在轴AB上,且AC=2米.若球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点A处取到.建立适当的坐标系可得抛物线方程为y=ax2(a>0),则实数a的取值范围是.16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝0，则满足f(x－1)＜0的x的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）已知数列{a n}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2log2a n－1，求数列{a n b n}的前n项和T n.18．（本小题12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．19．（本小题12分）全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：空气质量指数[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](μg/m3)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040m 10 5(1)(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率．20.(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD 如图所示,AB ∥CD,BC ⊥CD,AB=BC=2,CD=PD=1,△PAB 为等边三角形. (1)证明:PD ⊥平面PAB;(2)求二面角P CB A 的余弦值.21．(本小题满分12分)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB ．22、(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得 MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．湛江一中2022届高二级第一学期数学周六测试题（十）参考答案班别： 姓名： ， 考试时间：2020/11/28一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、解析：选D.点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线．2、解析: 选C.f(x)=a ·b=sin xcos x+sin xcos x=sin 2x.而y=sin(2x+)=sin 2(x+),于是只需将f(x)的图象向左平移个单位.3、解析：选C.点(2，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．4、解析：选D.因为双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y 轴上，且焦点坐标为(0，－43)，(0，43)．又双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，所以可设双曲线方程为y 2－x 2＝λ(λ>0)，则2λ＝48，λ＝24，故所求双曲线的方程为y 2－x 2＝24，即x 2－y 2＝－24.5、解析: 选B.f (x)=2x 2+mx+1在(0,+∞)内单调递增,则需满足对称轴x=- ≤0,即m ≥0,故⌝p:m<0.又⌝q:m<-5,由m<-5⇒m<0,故⌝p 是⌝q 的必要不充分条件.6、解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4，①根据抛物线的定义得， |F A |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|F A |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.7、解析：选C.由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，所以直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12.8、解析：选D。

由双曲线x24－y2b2＝1(b>0)知其渐近线方程为y＝±b2x，又圆的方程为x2＋y2＝4，①不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B，将y＝b2x代入方程①式，可得点B⎝⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b4＋b2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，每小题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．9、解析: 选B、C、D.若直线与圆没有交点,则d=>2,解得m2+n2<4,即<1,∴+<1,∴点(m,n)在椭圆内部,故直线与椭圆有2个交点.10、解析：选C、D。

A错误，当k＝2时，方程表示椭圆；B错误，因为k＝52时，方程表示圆；验证可得C、D正确．11、解析:选A BC。

不妨设曲线的焦点为F1,F2,假设|PF1|=2|PF2|.若是椭圆,则|P F1|+|P F2|=2|P F2|+|P F2|=3|P F2|=2a,即|P F1|=,|P F2|=;若是双曲线,则|PF1|-|PF2|=2|PF2|-|PF2|=|PF2|=2a,即|PF1|=4a,|PF2|=2a.结合选项验证,对于选项A,B,C,上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2,只有选项D,由于a=1,c=,所以|P F1|=4,|P F2|=2,|F1F2|=2能构成三角形.即存在“Ω点”的曲线是x2-y2=1..12、解析: 选ABCD。