不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。

【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。

不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。

下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()RF∈xCC+称为函数f(x)的不∀定积分，表为⎰+=C x F dxx f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。

在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。

列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。

三、不定积分的计算方法1.直接积分法既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表：直接积分法就是利用基本积分公式直接进行不定积分的计算，例如： 例3.1、计算()⎰++dx x x x 35746 解：原式⎰⎰⎰++=dx dx x dx x 35x 746()()c x x x c x c x c x xdxdx x dx x +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++=⎰⎰⎰257322517462323357需要说明的是：1c ,2c ,3c 为任意的常数，因此可用一个常数c 来表示。

以后对于一个不对积分，只要在积分结果后面所得的式子中写上一个积分常数即可，后面的就不一一说明了。

例3.2、求⎰+dx x221x . 解：原式⎰+-+=dx x 2211x 1Cx x xdxdx dx x +-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰⎰arctan 111122 注：这里有一个技巧的方法：将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式进行计算。

直接积分法只能计算比较简单的不定积分，或者是稍做变形就可以用基本积分表解决的不定积分，对于其他有点复杂的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。

2.分部积分法分部积分法是由导数乘法规律推导出来的，其公式是⎰⎰-=dx vu uv dx uv '' （1）或⎰⎰-=vdu uv udv（2）说明：分部积分法的关键是u 和dv 的选取，其一般原则是（1）⎰vdu 要比⎰udv 易求；（2）v 要容易求出.根据此原则在下表中列出了在几种常见的分部积分类型中相应的u 和dv 的选取方法：注：表中a,b,k 均为常数，)(x P n 为x 的n 次多项式。

下面举一些例子来说明上表的应用。

例4.1 计算⎰xdx x sin解：令x u =，xdx dv sin =，则x v cos -=⎰⎰⎰++-=+-=-=C x x x xdx x x x xd xdx x sin cos cos cos cos sin例4.2 求不定积分⎰dx ex x 22解: 令2x u =，dx e dv x 2-=，则xdx du 2=，x e v 221--=，[][][]Ce xe e x dxe xe e x xde e x dx xe e x de x dx e x x x x x x x xx xx x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+-=+-=--=-=-----------⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222222222121212122121例.4.3 求⎰dx xx2ln解： 设x u ln =，dx x dv 21=，则dx xdu 1=，xv 1-=.所以有Cx xC x x x xdx x x x xd dx x x ++-=+-=+-=-=⎰⎰⎰)1(ln 11ln -ln )1(ln ln 22例4.4 计算⎰xdx 3sec 解： 由于xdx dx xx d 22sec cos 1)(tan ==，则令x u sec =，xdx dv 2sec =，并令⎰=xdx I 3sec ，则有 xdx x du tan sec =，x v tan = 所以有()xx I x x xdx xdx x x x x xdx x x x xdxx x x x xd x x x ecxd I tan sec ln tan sec sec sec tan sec )1sec (tan sec 1sec tan sec sec tan tan sec )(sec tan tan sec )(tan s 32222++-=+-=-=--=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是得()C x x x x I +++=tan sec ln tan sec 21分部积分公式还可以推导积分递推式，例如 例4.5 计算⎰xdx n sin 其中 （ n>1是正整数 ）解： 令x u n 1sin -=，xdx dv sin =，则()xdx x n du n cos sin 12--=，x v cos -=，所以得nn n n n n n n n n n n n n n In xdx n x x xdxn xdx n x x dxx x n x x x x xdx x n x x x xd x x x xd xdx I ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+-=---+-=--+-=-=-+-=+-=-==-----------)1(sin )1(cos sin sin )1(sin 1cos sin )sin 1(sin )1(cos sin )sin 1cos (cos sin )1(cos sin )(sin cos cos sin )cos (sin sin 212122122221211 所以有21211cos sin 1sin 1cos sin 1-----+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰n n n n n I n n x x n xdx n n x x n I 注：上例导出了一个递推公式，只要是重复利用该递推公式，则x sin 的偶次幂最终将递推到1，奇数幂则最终将被递推到x sin ，而1和x sin 可以积出来，因此利用上式递推公式可以积分x sin 的任意正整数幂。

由上面这些例子，对于分部积分法的u 和dv 的选择可以总结出以下规律：优先考虑取为u 的函数的顺序为“反对幂三指”，即按反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数和指数函数的先后顺序优先选择函数作为u ，积分式其余部分则凑为dv .3.换元积分法 （1）第一换元法如果不定积分⎰dx x f )(用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为())()()('x x g x f ϕϕ=令()x u ϕ=，并注意到()()x d dx x ϕϕ='，则可将有关于变量x 的积分转化为关于u 的积分，于是有()()[]()()[]()()[].)()(回代积分)()(换元变形凑合'C x F x u C u F du u f u x x d x f dx x x f dx x f +=+=⎰⎰⎰⎰ϕϕϕϕϕϕϕ这就是第一换元积分法。

一般可用第一换元积分法，即可用“凑微分”法解的题型较多，方法也很灵活，但也有规律可循，按基本初等函数类型进行总结，常见题型有：下面举例说明： 例5.1 计算⎰+25x dx. 解：()()()C x x u C u uduux x x d dx x x+++=+==+++=++=⎰⎰⎰25ln 5125ln 515125252551252551原式'例5.2 计算⎰xdx sec 解法一：()()()()C xxx x d x x d x x xd xxd dx xxdx xxdx +-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin 1sin 1ln 21sin 1sin sin 1sin 21sin 1sin 1sin sin1sin cos cos cos 1sec 22解法二：()()C x x x x x x d dx x x x x x dx x x x x x xdx++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec tan sec tan sec sec sec 2虽然这两种解法所得的结果只是形式上的不同，但经过验证均为x sec 的原函数。

例5.3 求不定积分⎰xdx 52cos sin 解：()()C x x x x d x x x x d x x x xd x xdx x ++-=+-=-==⎰⎰⎰⎰7536422224252sin 71sin 52sin 31)(sin sin sin 2sin)(sin sin 1sin )(sin cos sin cos sin例5.4 求 ⎰.cos 2xdx 解：()C x x x xd dx xdx dx dx xxdx++=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2sin 4121)2(2cos 41212cos 2122cos 1cos2注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇数次项去凑微分。

当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑，剩下的偶次用半角公式降幂后再计算。

（2）第二换元积分法适当地选择变量代换()t x ψ=，将积分()⎰dx x f 化为积分()[]()⎰.'dt t t f ψψ这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：()()[]()⎰⎰=.'dt t t f dxx f ψψ可是这公式的成立需要一定条件：首先，等式右边的不定积分要存在，即()[]()⎰dt t t f 'ψψ有原函数；其次，()[]()⎰dt t t f 'ψψ求出后必须用()t x ψ=的反函数()x t 1-=ψ代回去，为了保证该反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数()t x ψ=在t 的某一个区间上是单调的、可导的，并且().0'≠t ψ 则有()()[]()()()[]⎰⎰+=+==-.1'C x F C t F dt t t f dx x f ψψψ 其中()x 1-ψ是()t x ψ=的原函数。