u3 u 2 du C 3
cos 2 xd cos x d cos x
1 cos3 x cos x C. 3
1 例8 求 e x e x dx.
1 e 解 x x dx 2 x dx e e e 1
x
de x e x dx
d sin x cos xdx
sin x (1 sin x ) d (sin x )
2 2 2
(sin x 2 sin x sin x )d (sin x ) 1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7
2 4 6
sin 2 x cos xdx. 例5 求
d sin x cos xdx
2
解
sin
2
x cos xdx
sin x
d sin x
u3 u 2 du C 3
1 3 sin x C. 3
一般地, 有
sin x f (cos x)dx f (cos x)d cos x;
2 t ln 1 t C.
2

x ln 1 x C.

例2 求

1 dx . x 1 e
解 令 t 1 e x 则 ex t 2 1, x ln t 2 1 ,


2t dx 2 dt , t 1 1 1 2 1 1 e x dx t 2 1dt t 1 t 1 dt
则
f ( x)dx F x +C ,
1
若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。
1 dx. 例1 求 1 x
解 令 t x, 则
x t , dx 2tdt ,
2
于是
1 2t t 1 1 1 x dx 1 t dt 2 t 1 dt 1 2 dx dt t 1
1 ln ln x C. 2
一般地, 有
1 u du ln u C
1 x f (ln x)dx f (ln x)d ln x.
第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过 如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可 循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需 要熟记一些函数的微分公式，例如
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
一、第一换元积分法
问题
cos 2xdx
解决方法 利用复合函数求导的逆运算，设置 中间变量.
1 过程 令 t 2 x dx dt , 2 1 1 1 cos 2 xdx 2 cos tdt 2 sin t C 2 sin 2 x C .
cosx f (sin x)dx f (sin x)d sin x.
例6 求 sin 2 x cos 5 xdx . 解

sin x cos xdx sin 2 x cos 4 x cos xdx
2 5

sin x cos xd (sin x )
2 4
ln sec x tan x C
类似可得
csc xdx ln csc x cot x C
小结 积分常用技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项等;
1 sin 2 x cos 2 x 等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
cos2 x 1 (1 cos 2 x) ; 2
1 1 1 [ d ( x a) d ( x a)] 2a x a xa
1 (ln x a ln x a ) C 2a
1 xa ln C. 2a x a
例15 求
2
sin 2 xdx.
1 cos 2 x 解 sin xdx dx 2 1 ( dx cos 2 xdx) 2 1 1 dx cos 2 xdx 2 2 1 1 dx cos 2 xd (2 x) 2 4 1 1 x sin 2 x C. 2 4
1 [ sin 2 x C ] cos 2 x 2
说明结果正确
对于形如
f ( ( x)) ( x)dx 的积分，设 u x ,
则
如果 f u 及 ( x) 连续，且
f (u )du F u +C , f ( ( x)) ( x)dx F ( x) C
1 1 1 1 1 2 x 1 dx 2 2 x 1 2dx 2 2 x 1 d (2 x 1)
1 dx. 例1 求 2x 1
想到公式
1 1 du 2 u 1 ln | u | C 2 1 ln | 2 x 1| C. 2
注意换回原变量
1 xdx d ( x 2 ), 2 1 dx 2d x , x
1 dx d ln x, x
1 1 dx d ( ), x x2
sin xdx d cos x, e x dx de x ,
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子．
1 dx. 例10 求 2 2 a x

1 sin xdx. x
d x
1 2 x
dx
解

1 1 dx sin xdx 2 sin x 2 x x
2 sin xd x
2cos x C.
一般地, 有

1 f ( x )dx 2 f ( x )d x . x
例4 求 tan xdx.
d cos x sin xdx
sin x 1 解 tan xdx dx sin x dx, cosx cos x 1 d cos x, 1 cos x du ln u C u
ln cos x C.
类似
cot xdx ?

cos x d sin x dx ln sin x C cot xdx sin x sin x
说明:当被积函数是三角函数(如正弦函数和余 弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例7 求
解
sin 3 xdx.
sin 3 xdx sin 2 x sin xdx
sin 2 xd cos x
d cos x sin xdx
(cos 2 x 1)d cos x

1 dx . 3 x (1 x )
解 令 x t 6 dx 6t 5dt ,
2 1 6t 5 6t dx 3 dt dt x (1 3 x ) 2 2 t (1 t ) 1 t 2 1 t 11 dt 6[t arctan t ] C 6 dt 6 1 2 1 t 1 t2
1 d ln x dx x
dx 1 解 d (ln x) 1 2 ln x x(1 ln x)
1 u du ln u C
1 1 d (2 ln x 1) 2 1 2 ln x
1 ln 1 2 ln x C. 2
例13 求
3x 2 1 x3 dx.
dx
(a 0).

1
2
1 u arcsin u C
du

1 1 dx dx a x 2 a2 x2 1 ( ) a1Leabharlann x 1 d dx a a

1 x 2 1 ( ) a
x d( ) a
x arcsin C. a
dx . 例12 求 x(1 2 ln x)
3
解
1 2
3x
2
1 x dx (1 x ) 3x dx
2
3 2
1 3 2
2 u du 3 u C
(1 x ) dx3
(1 x ) d 1 x3
3 2 (1 x3 ) 2 C. 3
1 3 2
1 3 2
dx . 例14 求 2 2 x a dx dx 1 1 1 解 2 ( )dx 2 x a ( x a)( x a) 2a x a x a 1 1 1 ( dx dx) 2a x a xa
如何应用上述公式来求不定积分? 假设要求 g ( x)dx , 则使用此公式的关键在于将
g ( x)dx
化为

f [ ( x)] ( x)dx
的形式，所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.
du u ln u C 解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则
t 1 ln t 1 ln t 1 C ln C t 1 x 1 e 1 x ln C 2 ln 1 e 1 x C . x 1 e 1
说明 当被积函数含有两种或两种以上的 n k l 根式 x ,, x 时，可采用令 x t （其中 n为各根指数的最小公倍数） 例3 求
该积分法可由下面的逆运算证明
F ( ( x)) C F ( x) ( x) f ( ( x)) ( x)
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
定理1 设 f (u)具有原函数 F (u), u = (x) 连续 可导, 则有换元公式
f ( ( x)) ( x)dx f (u )du F ( ( x)) C.
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进
一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练