椭 圆一.考试必“背”1 椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e d PF=，0＜e ＜1的常数}。

（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

3．参数方程 ：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )(为参数θ4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by ax （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④ 准线方程：ca x 2±=；或ca y 2±=⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。

|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max,平面几何性质： ⑥ 离心率：e=ac（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越______，0=e 是_____。

⑦ 焦准距c b p 2=；准线间距ca 22=二、焦点三角形结论一：若1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，当点P 位于___________时θ最大，cos θ=______________.|PF 1||PF 2|的最大值为______________. 2tan221θb S PF F =∆结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。

结论三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 。

结论四：四心的轨迹(1)、)0(12222>>=+b a b y a x 焦点三角形内心的轨迹及其方程1)(222222=++c a c b y c x ．(2)、)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形重心的轨迹及其方程：)0(1992222>>=+b a by a x (3)、)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形垂心的轨迹及其方程：22y =(4)、)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形的外心的轨迹及其方程2sin 2sin 2b c y bθθ=-（22||2b c y b -≥）．三．中点弦问题AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ，则直线的斜率为 。

四．弦长问题.(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线相交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得的弦长 或 .(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。

五．X 轴正半轴到椭圆的最短距离问题：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.六．过椭圆上点切线问题若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.习 题1、已知椭圆方程192522=+y x ，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2，N 是MF 1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（ ）（A ）2（B ）4（C ）8 （D ）23 2．点P 是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为_______________.3.（2009年上海卷理）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.4.（2009北京文）椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =；12F PF ∠的大小为 .4．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为1F 、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）（A ）59 （B ）3 （C ）779 （D ）495．椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是_______________. 。

6.椭圆的中心在原点，焦点在X 轴上，离心率√3/2，椭圆上各点到直线l 的最短距离为1，则该椭圆方程是？直线l 为x-y+5＋2＝07.设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，（1）试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。

(2) 求x+2y 的最小值8．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（A ）1 （B ） （C ） （D ）29.已知点P 是椭圆方程x 2/3+y 2=1上的动点，M,N 是直线L ：y=x 上的两个动点，且满足|MN|=t ，则（1）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点仅有一个 （2）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点仅有两个 （3）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点仅有三个 （4）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点仅有四个 （5）存在实数t 使△MNP 为正三角形的点有无数个上述命题中正确的序号是________________.10.在平面直角坐标系中，点与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由(探究（面积）)11.（2007四川理）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.（最值、求取值范围） 12.（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点A （)0,32-是其左顶点，点C 在椭圆上，且0=⋅CO AC ，||||CO AC =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若平行于CO 的直线l 和椭圆交于N M ,两个不同点，求CMN ∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程．（最值）13.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为174． （I ）求p 与m 的值；（II ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．SJS14．（本题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，长轴长为直线:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若1m =，且0OA OB ⋅=，求k 的值（O 点为坐标原点）；（Ⅲ）若坐标原点O 到直线l的距离为，求AOB ∆面积的最大值．FT15、（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到F1(、F20)的距离之和是4，点M 的轨迹C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l ：y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．（1）求轨迹C 的方程；（2）当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．（过定点）16.（12分）已知点)1,1(A 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一点，1F ,2F 是椭圆的两个焦点,且满足421=+AF AF .(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)设点C ,D 是椭圆上的两点,直线AC ,AD 的倾斜角互补,试判断直线CD 的斜率是否为定值?并说明理由.（定值）17 .(2010年高考天津卷理科20) (本小题满分12分)已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4．求的值．。