f (x, y) = 2≠fx(x) fy(y) = 4x(1-y)
因此, X 与 Y 不相互独立.
找出了一个 面积不为0 的区域

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例3.2.6 将一枚均匀硬币独立地掷两次，引 进随机事件如下
A1 {掷第一次出现正面 } A2 {掷第二次出现正面 }
即ξ1、ξ2、 ξ3不相互独立.
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1 4
P{1 1}P{ 2 1}
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即ξ1与 ξ2相互独立，同理可验证ξ1与 ξ3， ξ2 与 ξ3也分别相互独立.
但因
P{1 0, 2 0, 3 1} P ( ) 0 1 2
3
P{1 0}P { 2 0}P { 3 1}
-
0dy 0
1
x
当 0< x <1 时,

x
2dy 2 x
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0
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类似地, fY ( y )

-
f ( x , y )dx , - y
y
1
y=x
当y≤0 或 y≥1时,
fY ( y )


-
0dx 0
o
1
x
当 0< y <1 时,
P{1 1, 2 0} P ( A1 A2 )
P{1 0, 2 1} P ( A1 A2 )
1 4
1 4 1
4
P{1 0}P{ 2 0}
P{1 1}P{ 2 0}
P{1 0}P{ 2 1}
P{1 1, 2 1} P ( A1 A2 )
解 对于任意给定的实数 a > 0 有
{ X a } {- a X a } { X a }
从而 P{ X a , X a } P{ X a }, (1)
又
0 P{ X a } 1， 0 P{ X a } 1
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成立，称X与Y相互独立.
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意义 对任意实数对( x , y )，随机事件 { X ≤ x }、 { Y ≤ y }
都相互独立. 等价条件:
1.X与Y相互独立
例3.2.1
F ( x , y ) FX ( x )FY ( y )
对任意实数(x , y )均成立.
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3) m维随机向量(X1 ,X2,…,Xm ) 与n-m维随机 向量(Xm+1 ,Xm+2 ,…,Xn ) 也相互独立. 4) 随机变量 h (X1 ,X2,…,Xm ) 与g(Xm+1 ,Xm+2, …,Xn ) 也相互独立. 如 3维随机变量X1 ,X2 ,X3 相互独立，则 X12 , X22 , X32 也相互独立. X1 +X2与X3也相互独立. sinX1 与X3也相互独立.
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§3.2 随机变量的独立性 一、二维随机变量的独立性 随机事件A 与B 相互独立，若 P(AB)=P(A)P(B) 定义 设( X , Y )是二维随机变量, 若对 任意实数对( x , y )均有
P{ X x , Y y } P{ X x } P{ Y y }
x
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y 0 or y 1; 0, fY ( y ) 3 4y - 4y , 0 y 1.
在区域
G＝ x , y ) 0 y x 1} {(
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
故 X ,Y不相互独立.
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
在平面上除去“面积”为0 的集合外成立. 例3.2.2 例3.2.3 例3.2.4 练习
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二. 多维随机变量的独立性 定义 设 n 维随机变量（X1 ,X2,…Xn )的联
合分布函数为 F(x1 , x2 ,…, xn )， 若对任意实 数x1 , x2 ,…, xn 均有
2. (离散型)X与Y 相互独立
P{X x i , y j} P { x i} Y Y X P{ } y j
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或
pij = pi·p· j
对所有(xi , yj )均成立. 注 若否定结论, 只需找到一对(i, j)使 pij ≠ pi·p· j 3. (连续型)X与Y相互独立
F ( x1 , x2 ,, xn ) Fi ( xi ),
n
称X1 ,X2,…Xn 相互独立.
i 1
注 对任意实数向量(x1 , x2, …, xn), n个随机事 件 Ak={Xk ≤ xk},k=1,2, …,n， 都相互独立.
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思考 随机事件A1，A2，…，An 相互独立， 应有以下
fY ( y )

1 y
2dx 2(1 - y )
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于是,
2 x 0 x 1 f X ( x) 其他 0
2(1 - y ) 0 y 1 fY ( y ) 0 其他
故当 0< x <1 且 0< y < x 时,
A3 {正、反面各出现一次 }
令
1, 当事件A1 发生； 1 0， 否则.
1, 当事件A2 发生； 2 0， 否则.
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1, 当事件A3 发生； 3 0， 否则.
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有
P{1 0, 2 0} P ( A1 A2 )
P X b cosY
D
2 a
dxdy
a b
x
x = b cosy
D
0 π/2

2 a
S D
2b a
.
y
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练习 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 填出 空白处的数值.
X x1
x2
p. j
Y
y1
1/24 1/8
y2 1/8
3/8 1/2
P{ X a , X b} P{ X a }P{ X b}
对所有实数对(a, b) 均成立.
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3) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系
{ X a } {- a X a } { X a }
从而
P{ X a , X a } P{ X a }
y3
pi .
1/4 3/4
1/6
1

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例3.2.2 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合概率密
度
2 f ( x, y) 0 0 x 1, 0 y x 其他
问: X、Y 是否相互独立？
分析 f (x, y) 在如图所
y
1
示区域内不等于 0, 在其
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例3.2.4 设随机变量 X , Y 相互独立, X~U( 0, a ) , Y~ U(0, / 2)且 0 < b < a 试求 P { X < b cosY } 解
1 , f X ( x) a 0, 0 x a; 其他;
余区域均等于 0。
o
1
x
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因为
f X ( x)


-
f ( x , y )dy ,
- x
当 x≤0 或 x≥1时,
在整个积分路径上 被积函数 f (x, y) 始 终为 0; 因此
f X ( x)
y
1
y=x


o
f X ( x)
f ( x, y) 0,
-
其他.
问 X , Y 是否相互独立？
解
f X ( x)
f ( x , y ) dy
y
( 1,1 )
G 1
x 0 or x 1; 0, x 0 x 1. 0 8 xydy,
0
x 0 or x 1; 0, 3 0 x 1. 4x ,
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X1 +X2与X1 －X2 不一定相互独立.
随机变量的独立性 本质上是随机事件的独立性
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例3.2.1 设随机变量 X 的概率密度为
f ( x) 1 e 2
-
x ,
- x
问 X 与︱X︱是否相互独立. 分析 1) 直观判断X 与︱X︱是否相互独立？ 2) 判定X 与︱X︱相互独立，则需验证
lim
Fi ( xi ) FX1 ( x1 )FX 2 ( x2 )FX 3 ( ) FX n ( )
FX ( x1 )FX ( x2 )
1 2