证：二维正态分布的概率密度为
f ( x , y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ ( 2 } 2 2 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 2 2
由例3.11知，f X ( x ), fY ( y)的乘积为
0
1
x2 2
)dx
1 1 2 e 2 0
1
x2 2
dx
1 2 (1) (0)
1 2.5066 0.8413 0.5
0.1445
□
3.4 随机变量的相互独立性
【例 3.19】对于二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立的 充要条件是ρ=0.
0.5
pj
0.5
0.5
及独立性得到下表：
3.4 随机变量的相互独立性
pij
Z
0.25
1
0.25
0
0.25
0
0.25
1
(X，Y) (0，0) (0，1) (1，0) (1，1)
(X，Z) (0，1) (0，0) (1，0) (1，1)
(X，Z)的分布律及边缘分布律为：
X Z 0 0 0.25 1 0.25 p i. 0.5
第3章 多维随机变量及其分布
3.4 随机变量的相互独立性
定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分 布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi (xi)为Xi的边缘分布 函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } P{ X i xi } 即 F ( x1 , x2 , , xn ) FX i ( xi )
1 2 e , y 0, fY ( y ) 2 其它, 0,
(1)求X与Y的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率. 〖解〗(1)求X与Y的联合概率密度 因为X,Y独立,且有
y 1 2 1, 0 x 1, f ( y) e , y 0, 2 Y f X ( x) 0, 其它, 0, 其它,
若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值．
解：
X
x1 x2
首先写出两个边缘边缘分布律
Y y1 a 1/9 y2 1/9 b y3 c 1/3 p i. a+c+1/9 b+4/9
p.j
a+1/9
b+1/9
c+1/3
a+b+c+5/9=1
3.4 随机变量的相互独立性
Y X x1 y1 a y2 1/9 y3 c p i. a+c+1/9
（2）连续型随机变量，如果下式几乎处处成立
f ( x1 , x2 , , xn ) f X i ( xi )
i 1 n
则X1，X2，…，Xn相互独立． 这里“几乎处处成立”是指除去测度为零的点集 外处处成立．
3.4 随机变量的相互独立性
特别地，二维的情形
1) 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y ), 边缘分布函数分别为 FX ( x ), FY ( y ), 则有
C. / 8
D. / 4
2013 设r.v.X与Y相互独立， X pi 0 1/2 1 1/4 2 3 Y pi -1 1/3 0 1
1/8 1/8
1/3 1/3
则P{ X Y 2}
1/6
即 X 和 Y 相互独立
P PP
ij
i. . j
3.4 随机变量的相互独立性
3) 设连续型随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为 f ( x, y), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y), 则有
X 和 Y 相互独立
f ( x, y) f
X
( x ) fY ( y ).
P{Y X 2 }
y x2
f ( x, y)dxdy
例2-续2
1 P{Y X } f ( x, y)dxdy e dxdy 2D y x2
2

y 2
1 dx e dy e 20 0 0
1
x2
y 2

1
y 2 2 x 0
| dx (1 e
在平面上几乎处处成立。 在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面 积为零的集合，在其上等式 f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y ) 不成立.
3.4 随机变量的相互独立性
【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为
Y
X x1
x2
y1 a 1/9
y2 1/9 b
y3 c 1/3
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
1 18
1 3


(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解：将( X ,Y ) 的分布律改写为 Y 1 2 3 X
1 2
1 ( x 1 )2 ( y 2 )2 f X ( x ) fY ( y) e xp{ [ ]} 2 2 21 2 2 1 2 1
若ρ=0，充分必要条件为，对所有x,y有 即X与Y独立．
f ( x, y) f X ( x ) fY ( y)
☺课堂练习
已知 ( X ,Y ) 的分布律为
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij P{ X xi } P{Y y j }, (i 1,2; j 1,2,3)
特别有
1 p12 9
又
11 2 , 9 39
1 1 , 得 . 3 9
2012数学一
i 1 n i 1 n
则称X1，X2，…，Xn相互独立．
3.4 随机变量的相互独立性
（1）离散型随机变量，如果对于任意n个取值
x1，x2，…，xn，有
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } P{ X i xi }
i 1 n
则X1，X2，…，Xn相互独立．
X 和 Y 相互独立
F ( x, y) F ( x)F ( y).
X Y
2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,.
X 和 Y 相互独立 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, 来自1 p.j0.25 0.5
0.25 0.5
0.5 1
由于P{X = i，Z = j} = 0.25 = 0.50.5 = P{X = i}P{Z = j} （i，j= 0，1）， 所以X与Z独立．
【例2】(典型题）
例2:设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均 匀分布,Y的概率密度为 y
（7）
设随机变量X与Y相互独立，且分别服从 参数为1和4的指数分布，则P{X<Y}=( )
1 A. 5
答案 A
1 2 B. C. 3 5
4 D. 5
2012 设r.v.X与Y相互独立，且都服从区间（0,1）上的 均匀分布，则 P{X 2 Y 2 1 } ( A.1/4
答案：D
)
B.1/2
3.4 随机变量的相互独立性
【例 3.17】已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参 数为1/2的0-1分布，定义随机变量
1 当X Y为偶数 Z 0 当X Y为奇数
求Z的分布律，(X，Z)的分布律， 并问X与Z是否独立？ 解：由X与Y的分布律
X 0 1 Y 与 0 1
pi
0.5
例2-续1
所以,X与Y的联合概率密度为
y 1 e 2 , 0 x 1, y 0 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 2 其它. 0,
(2)求方程有实根的概率 “方程有实根”即为
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{X xi }
1 3 1 3
1 6 1 3
1 2
1 9
1 18

1 9

1 18
P{Y y j }
2 3
2 (1)由分布律的性质知 0, 0, 1, 3 1 故与 应满足的条件是: 0, 0 且 . 3
x2
p.j
1/9
a+1/9
b
b+1/9
1/3
c+1/3
b+4/9
a+b+c+5/9=1
利用X与Y相互独立的条件， 4 1 由 p22 p2 p2 , 即 b ( b )( b ), 解之得b 2 / 9. 9 9 1 4 1 再由 p23 p2 p3 , 即 ( b )( c ), 3 9 3 2 1 将 b 代入解得c , 9 6 5 1 最后利用 a b c 1得a . 9 18