第2.23节 随机变量的独立性,条件分布
一、随机变量的相互独立性 二、离散型随机变量的条件分布 三、连续型随机变量的条件分布 四、小结
一、随机变量的相互独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
1.定义2.6 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
P ( X x ,Y y ) P ( X x ) P ( Y y )
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件 (2若 ) X与 Y相互,求 独 与 立 的.值
条件分布函数与条件密度函数的关系
x
x
F X Y ( x y ) p X Y ( x y ) d x [ p ( x ,y )p Y ( y ) ] d x .
y
y
F Y X ( y x ) p Y X ( y x ) d y [ p ( x ,y )p X ( x ) ] d y .
pij p•j
,
为在Y yj条件下随机变X量 的条件分布. 律
对于固定i, 的 若P{X xi }0, 则称
P{Y
yj
X
xi
}
P{X xi ,Y P{X xi }
yj
}
pij , pi•
为在 X xi条件下随机Y变的量条件分.布律
其i,中 j1,2,.
例1.设 （X,Y)的 分 布 律 为
若 (X,Y)是连续型r.v ,则x ,y )p X (x )p Y(y )
成立，则称X,Y相互独立 .
其中 p(x, y) 是X,Y的联合密度， pX(x),pY(y)分别是X
和Y 的边缘密度 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于：
特别有
p12 p1•p•2111
9 39
2, 9
又 1, 得 1.
3
9
例2 设(X,Y)的概率密度为
x e(xy), p(x,y)
0,
对一切x, y, 均有：
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其 它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)0xe(xy)dy xex
条件下, X的条件分布函,记数为
P{X xY y}或FXY(x y),
即
FXY(x y) P{X xY y}
x p(x, y) d x.
pY (y)
同理定 X义 x的在 条Y件 的下 条件分 为布函
y p (x ,y)
F YX (yx )P {Y y|X x } p X (x )d y.
解 将(X,Y)的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p•j P{Yyj}1 2
2 1 9
1 9
3 pi•P {Xxi}
1
1
18
3
1
3
1 18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,0,2
3
1,
故 与 应满足 : 的 0 , 条 0且 件 1 是 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
p i j p i • p • j,( i 1 , 2 ; j 1 , 2 , 3 )
P {X1 } 0.045
即在 X1的条,件 Y的 下条件分布律为
Yk
012
P{YkX1} 6 2 1 999
同理可 Y0 得 的在 条,X 件 的下 条件分布
Xk 0 1 2 3 P {XkY0}84 3 2 1
90 90 90 90
三、连续型随机变量的条件分布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020
P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 211.3 000
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律 (2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 由上述分布律的表格可得 P {Y0X1 }P {X1 ,Y0} 0.030 ,
P {X1 } 0.045 P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 ,
P {X1 } 0.045 P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 ,
ab
2
a
0,
1 x2 a2 , x a x a
这里u b
1
x2 a2
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
p(x, y),(X,Y) 关于Y 的边缘概率密度为pY ( y).若
对于固定的y,
pY
( y)
0,
则称
p(x, y) pY ( y)
为在Y
y
的条件下X 的条件概率密度,记为
p(x, y)
p (x y)
.
XY
pY ( y)
称
x
pXY (x y)dx
x
p(x, y) dx为在Y y的 pY (y)
说明
联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
联合分布
边缘分布 条件分布
联合分布
例2*设（x,y）在椭圆 x2
a2
y2 b2
1上服从均匀
分布，求条件分布密度函数p(x|y). 解 由题假设知
1
x2
y2
p( x,
y)
ab
0,
, a2 x2 a2
b2 y2 b2
1
1
则pX
( x)
u
u
dy
x>0
pY(y)0x e(xy)dx ey
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
二、离散型随机变量的条件分布
定义
设(X,Y)是二维离散型随机,对变于量固定
的j, 若P{Y yj}0, 则称
P{ X
xi
Y
yj }
P{X xi ,Y P{Y yj }
yj }