x1 x2 x3 0 ax1 bx2 cx3 0
a2 x1 b2 x2 c2 x3 0
(1)只有零解；(2)有非零解？
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例1.5.3 设齐次线性方程组
x1 (k 2 1)x2 x1 (2k 1)x2
2x3 0 2x3 0
kx1
a11 a1, j1 b1 a1, j1 a1n Dj
an1 an, j1 bn an, j1 ann
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证明 用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj依次
乘方程组（1）的n个方程，得
a11x1 a12 x2
a21x1 a22 x2
an1x1 an2 x2
a2n
an1 an2
ann
为方程组的系数行列式
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定理1.5.1（克莱姆法则）含n个方程n个未知量的线性方程组（1），
当其系数行列式D 0时有惟一解
xj
Dj D
,
( j 1, 2,
, n)
其中Dj是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端的常数项
代替后得到的n阶行列式，即
Dxj Dj j 1, 2, , n
（2）
当D 0时，方程组（2）有惟一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
,
xn
Dn D
由于方程组（2）与方程组（1），所以
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例1.5.1 解线性方程组
x1 x2
2
x1 x1
2x2 3x2
x3 x4 2 x3 4x4 5 x3 3x4 3
kx2 (2k 1)x3 0
有非零解，求k值.
练习 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
1
2
x1
x1 2x2 4x3
3 x2 x3
0 0
x1 x2 1 x3 0
答案 =0，=2或=3.
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思考题: 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用cramer 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
§1.5 克莱姆（Cramer）法则
由线性方程组
a11x1 a12 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
（1）
的系数aij (i, j, 1, 2, , n)构成的行列式
a11 a12
a1n
D a21 a22
ann xn 0
为齐次线性方程组. 易知，x1 x2 xn 0 一定是它的解，称为零解。
若有一组不全为零的数是它的解，称为非零解。
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定理1.5.2 如果齐次线性方程组的系数行列式D 0， 则它只有零解.
等价说明 如果齐次线性方程组有非零解
其系数行列式D 0. 例1.5.2 a,b, c满足何种条件时，下列方程组
解答: 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
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3x1 x2 2x3 3x4 0
注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系。
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线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
把n个方程依次相加，得
a1n xn A1 j b1A1 j a2n xn A2 j b2 A2 j
ann xn Anj bn Anj
n
ak1
Akj
x1
n
akj
Akj
xj
n
akn
Akj
xn
n
bk Akj
k1
k1
k1
k 1
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由代数余子式的性质可知：上式中除了x j的系数等于D, 其余xi(i j)的系数均等于0，而等式右端为Dj ,即