···········································································································装订线山 东 建 筑 大 学 试 卷 共 4 页 第 1 页2009 至 2010学年第 1 学期 线性代数 （本科）试卷 B 卷 专业： 全校修线性代数的各专业 试卷类别： 考试 考试形式： 闭卷 考试时间120 分钟 题号 一 二 三 四 五六七总分 分数说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。

得分 评卷人一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设n 阶行列式D =ij a ,j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式,则下列各式中正确的是( ).A. 01=∑=n i ij ij A a ； B. 01=∑=n j ij ij A a ；C. D A a n j ij ij =∑=1；D.D A a ni i i =∑=121.2．已知A 为n 阶方阵，且满足E A 22=，则=--1)(E A ( ). A.A E +; B.A E -; C.E A -; D.A .3．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12032211t A ，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t ( ). A. -4; B. -5; C. -6; D. 4.4．设B A ,分别是n m ⨯与1⨯n 矩阵，且0=AB ，则)(),(B R A R 与n 的关系是( ). A. n B R A R <+)()(; B. n B R A R >+)()(;C. n B R A R ≤+)()(;D. n B R A R ≥+)()(.5.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可以相似对角化，则x 为( ).A. -3;B. 3;C. 0;D. 5.6．设矩阵11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211122121112a a a a B a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 10110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则必有（ ）. A ．12PP A B = B ．21P P A B = C ．12APP B =D ．21AP P B =.7．设向量组1234,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）. A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合; B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合; C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合; D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合.8．对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=，设()m n R A ⨯=r ，则（ ）. A ．r m =时，方程组m n A x b ⨯=有解;B ．r n =时，方程组m n A x b ⨯=有唯一解;C ．m n =时，方程组m n A x b ⨯=有唯一解;D ．r n <时，方程组m n A x b ⨯=有无穷多解. 9．设2元二次型T 12(,)f x x x Ax =正定，则矩阵A 可取为（ ）. A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112; B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112; C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221; D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221. 10．“n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值”是A 与对角阵相似的（ ）. A ．充分必要条件;B ．充分而非必要条件;C ．必要而非充分条件;D ．既非充分也非必要条件.班级 _________ 姓名 _________学号 ______________二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11. 已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，则参数λ的取值范围为 .12. 设A 为34⨯的矩阵且秩为2，又3维向量21ηη,是方程组b Ax =的两个不等的解，则对应的齐次方程组0=Ax 的通解为 .13. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010321A ，*A为A 的伴随矩阵，则=-*1)(A _____. 14、 设21αα,是n 维向量，令1212ααβ-=，212ααβ+=，213ααβ-=，则向量组321βββ,,的线性相关性是 .15、设3阶方阵A 和B ，且它们的秩为32==)()(B r A r ，，则秩 =)(**B A r __________. 16．设矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，211122121112a a a a B a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 10110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21011P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则必有（ ）.A ．12PP AB =； B ．21P P A B =；C ．12APP B =；D ．21AP P B =. 17、已知向量(1,,1)x α=-与向量(0,1,1)β=正交，则x = .18、已知函数111111()111111x x f x x x=，则4x 的系数为 .19.已知12,αα为2维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-，12(,)B αα=.若行列式||6A =，则||B = .得分 评卷人20．“n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值”是A 与对角阵相似的（ ）. A ．充分必要条件；B ．充分而非必要条件；C ．必要而非充分条件；D ．既非充分也非必要条件.三、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共计20分）21、设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.证明：得分 评卷人···········································································································装订线22、设BA,都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是BAAB=. 证明：。

四、求解题（本大题共3小题，每小题10分，共计30分）23、设3阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)Tα=-是A的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E=-+其中E为3阶单位矩阵（1）验证1α是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量；（2）求矩阵B.解：得分评卷人···········································································································装订线24、问λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-154224521222321321321λλλλx x x x x x x x x )()()((1)有唯一解; (2)无解;(3)有无穷多个解； 并在无穷多个解时，求方程组的通解. 解:25、求实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值和特征向量，并用正交矩阵将矩阵A 化成对角矩阵. 解：···········································································································装订线。