§2.3.1 离散型随机变量的均值
教学目标
(1)通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义; (2)能计算简单离散型随机变量均值(数学期望),并能解决一些实际问题. 教学重点,难点:取有限值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义. 教学过程 一.问题情境 1.情景:
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的,我们把这样的随机变量称为离散型随机变量.这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢?
甲、乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产100件产品所出的不
合格品数分别用12,X X 表示,12,X X 的概率分布如下.
2.问题:
如何比较甲、乙两个工人的技术? 二.学生活动
1. 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数.从分布列来看,甲出0件废品的概率
比乙大,似乎甲的技术比乙好;但甲出3件废品的概率也比乙大,似乎甲的技术又不如乙好.这样比较,很难得出合理的结论. 2. 学生联想到“平均数”,,如何计算甲和乙出的废品的“平均数”? 3. 引导学生回顾《数学3(必修)》中样本的平均值的计算方法. 三.建构数学 1.定义
在《数学3(必修)》“统计”一章中,我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值,其中i p 为取值为i x 的频率值.
其中,120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=,则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望,记为()E X 或μ. 2.性质
(1)()E c c =;(2)()()E aX b aE X b +=+.(,,a b c 为常数)
四.数学运用 1.例题:
例1.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个小口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X ,求X 的数学期望.
分析:从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品,随机变量X 为5个球中的红球的
个数,则X 服从超几何分布(5,10,30)H .
从而
2584807585503800700425
()012345 1.66672375123751237512375123751237513
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答:X 的数学期望约为1.6667.
说明:一般地,根据超几何分布的定义,可以得到0
()r n r n
M N M
n
r N r C C M E X n C N --===∑ . 例2.从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品
率为0.05,随机变量X 表示这10件产品中不合格品数,求随机变量X 的数学期望
()E X .
解:由于批量较大,可以认为随机变量~(10,0.05)X B ,
1010()(1),0,1,2, (10)
k k k P X k p C p p k -===-=
故10
()0.5k
k E X kp
==
=∑
即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件.
说明:例2中随机变量X 服从二项分布,根据二项分布的定义,可以得到:当
~(,)X B n p 时,()E X np =.
例3.设篮球队A 与B 进行比赛,每场比赛均有一队胜,若有一队胜4场则比赛宣告结束,假定,A B 在每场比赛中获胜的概率都是
1
2
,试求需要比赛场数的期望. 分析:先由题意求出分布列,然后求期望 解:(1)事件“4X =”表示,A 胜4场或B 胜4场(即B 负4场或A 负4场),且两两互斥.
4400
044411112(4)()()()()222216
P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=;
(2)事件“5X =”表示,A 在第5场中取胜且前4场中胜3场,或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场(即第5场A 负且4场中A 负了3场),且这两者又是互斥的,所
以
33431141441111114(5)()()()()22222216
P X C C --==+=
(3)类似地,事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为
33532252551111115
(6)()()()()22222216P X C C --==+=,
33633363661111115
(7)()()()()22222216
P X C C --==+=
故比赛的期望为()4567 5.812516161616
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(场)
这就是说,在比赛双方实力相当的情况下,平均地说,进行6场才能分出胜负.
2.练习:
据气象预报,某地区下个月有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.现工地上有一台大型设备,为保护设备有以下三种方案: 方案1:运走设备,此时需花费3800元;
方案2:建一保护围墙,需花费2000元.但围墙无法防止大洪灾,若大洪灾来临,设备受损,损失费为60000元;
方案:不采取措施,希望不发生洪水,此时大洪水来临损失60000元,小洪水来临损失1000元.
试选择适当的标准,对3种方案进行比较.
五.回顾小结:
1.离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义;
2.离散型随机变量均值(数学期望)的计算方法;
3.超几何分布和二项分布的均值(数学期望)的计算方法.。