2.1.1 传感器的静态数学模型
在静态条件下，若不考虑迟滞及蠕变，则传 感器的输出量y与输入量x的关系可由一代数方程 表示，称为传感器的静态数学模型，即
y a0 a1 x a2 x2 an xn
(2.1)
式中 a0——无输入时的输出，即零位输出； a1——传感器的线性灵敏度； a2,a3 , … , an——非线性项的待定常数。
2.1.1 传感器的静态数学模型 2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
2.1.1 传感器的静态数学模型
传感器作为感受被测量信息的器件，希望 它按照一定的规律输出有用信号，因此需要研 究描述传感器的方法，来表示其输入— 输出关 系及特性，以便用理论指导其设计、制造、校 准与使用。
描述传感器最有效的方法是传感器的数学 模型。
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
1.线性度
传感器的校准曲线与选定的拟合直线的偏离程度称 为传感器的线性度，又称非线性误差。
eL Dymax / yFS 100% (2.5)
yF.S.—— 传 感 器 的 满 量 程 输出值（F.S.是full scale 的缩写）；
Dymax——校准曲线与拟合 直线的最大偏差。
2.2.1 传感器的动态数学模型
(2)频率响应函数
对于稳定系统 ，令s=jw，得
H (jw) Y (jw) X (jw)
bm jwm an jwn
bm1jw m1 b1jw b0 an1jw n1 a1jw a0
(2.19)
H(jw) 系统的频率响应函数，简称频率响
应或频率特性。
b
xi2 yi xi xi yi
n xi2
xi 2
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
将k和b代入拟合直线方程，即可得到拟合直
线，然后求出残差的最大值Lmax即为非线性误差。
这种方法拟合精度很高。
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
2.灵敏度
灵敏度是指传感器在稳态工作情况下输出改
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
5.静态误差
静态误差是指传感器在其全量程内任一点的输出值与 其理论值的偏离程度。是评价传感器静态特性的综合指标。
(1)用非线性、迟滞、重复性误差表示
es eL2 eh2 ez2
(2.11)
(2)系统误差加随机误差 用Δymax表示校准曲线相对于拟合直线的最大偏差，
n
2
D2i yi kxi b min
i 1
i 1
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
D2i 对k和b一阶偏导数等于零，求出b和k的表达式
k
D2i
2 yi
kxi
b
xi
0
b
D2i
2 yi
kxi
b 1
0
即得到k和b的表达式
n
k
xi yi
n xi2
xi yi xi 2
传感器的一般特性分析与标定
传感器所测量的物理量基本上有两种形式：
静 态 量 ， 常 量 或 变 化 缓慢 的 量
输
入
量动
态
量
— —静态特性 ， 周 期 变 化 、 瞬态
变
化
或
随
机
变
化
的
量
— —动态特性
传感器的输出-输入特性是与其内部结构参数有关的外 部特性。
一个高精度的传感器必须有良好的静态特性和动态特 性才能完成信号无失真的转换。
定义
传感器的动态特性是指其输出对随时间变化 的输入量的响应特性。
一个动态特性好的传感器, 其输出将再现输 入量的变化规律, 即具有相同的时间函数。实际 上输出信号将不会与输入信号具有相同的时间函 数,这种输出与输入间的差异就是所谓的动态误 差。
2.2 传感器的动态特性
例：动态测温 • 设环境温度为T0 ,水槽中水的温度为T,而且 T ＞T0
式中，s为复变量，s=b+jw，b>0。
2.2.1 传感器的动态数学模型
定义Y(s)与X(s)之比为传递函数，并记为 H(s)，则
H(s)
Y(s) X(s)
bm sm an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
(2.15)
因此，研究一个复杂系统时，只要给系统 一个激励x(t)并通过实验求得系统的输出y(t)， 则由H(s)=L[y(t)]/L[x(t)]即可确定系统的特性。
2.1.1 传感器的静态数学模型
4.一般情况 特性曲线过原点，但不对称。
y
y(x) a1x a2 x2 an xn
O
x y(x) a1x a2 x2 a3x3 a4 x4
y(x) y(x) 2(a1x a3x3 a5x5 )
这就是将两个传感器接成差动形式可拓宽 线性范围的理论根据。
y a1 x a2 x2 a4 x4
(2.3)
y
因不具有对称性，
线性范围较窄，所以
传感器设计时一般很
O
x 少采用这种特性。
2.1.1 传感器的静态数学模型
3.无偶次非线性项
当a2=a4=…=0时，静态特性为
y a1 x a3 x3 a5 x5
(2.4)
y
特性曲线关于原点
对称，在原点附近有较 O x 宽的线性区。
第
二
章
传感器的一般特性分析与标定
♣ 第一节 传感器的静态特性 ♣ 第二节 传感器的动态特性 ♣ 第三节 传感器的无失真测试条件 ♣ 第四节 传感器的标定
传感器的一般特性分析与标定
在生产过程和科学实验中, 要对各种各样的 参数进行检测和控制, 就要求传感器能感受被测 非电量的变化并将其不失真地变换成相应的电量, 这取决于传感器的基本特性,即输出—输入特性。
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
选择拟合直线的方法 （1）端点直线法，对应的线性度称端点线性度
。简单直观，拟合精度较低。最大正、负偏 差不相等。
y
Dymax
O
x
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
（2）端点平移直线法，对应的线性度称独立线 性度。最大正、负偏差相等。
y
Dymax
Dymax|Dymax|
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
借助实验方法确定传感器静态特性的过程称 为静态校准。
当满足静态标准条件的要求，且使用的仪器 设备具有足够高的精度时，测得的校准特性即为 传感器的静态特性。
由校准数据可绘制成特性曲线，通过对校准 数据或特性曲线的处理，可得到数学表达式形式 的特性，及描述传感器静态特性的主要指标。
动态特性除了与传感器的固有因素有关之外, 还与传感 器输入量的变化形式有关。
2.2 传感器的动态特性
2.2.1 传感器的动态数学模型 2.2.2 传感器的动态特性分析及其指标
2.2.1 传感器的动态数学模型
要精确地建立传感器（或测试系统）的数学模型是很 困难的。在工程上常采取一些近似的方法，忽略一些影 响不大的因素。
Dymax
松动、材料内摩擦、积尘等造成 的。
O
x xF.S.
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
4.重复性
重复性是指传感器在输入量按同一方向作全量程连续 多次测试时, 所得特性曲线不一致的程度。
ez Dymax /yF.S.100% (2.9)
△ymax为△ymax 1和△ymax2 这两个偏差中的较大者。
(2.21)
H(s) Y(s)/Δ(s) Y(s)
(2.22)
再对上式两边取反拉氏变换，并令L1[H(s)]h(t)，则有
h(t) L1[H(s)] L1[Y(s)] yd(t) (2.23) 通常称 h(t)为系统的冲击响应函数。
2.2.1 传感器的动态数学模型
对于任意输入x(t)所引起的响应y(t) ，可利 用两个函数的卷积关系，即响应y(t)等于脉冲响 应函数h(t)与激励x(t)的卷积，即
传感器突然插入被测介质中； • 用热电偶测温,理想情况测试曲线T是阶跃变化的； • 实际热电偶输出值是缓慢变化，存在一个过渡过程
热电偶
水温T℃ 环境温度To℃
T ＞To
2.2 传感器的动态特性
造成热电偶输出波形失真和产生动态误差的原因, 是因 为温度传感器有热惯性（由传感器的比热容和质量大小决 定）和传热热阻, 使得在动态测温时传感器输出总是滞后于 被测介质的温度变化。这种热惯性是热电偶固有的, 这种热 惯性决定了热电偶测量快速温度变化时会产生动态误差。
2.1.1 传感器的静态数学模型
设a0=0，即不考虑零位输出，则静态特性曲 线过原点。一般可分为以下几种典型情况。
1.理想的线性特性 当a2a3…an0时，
静态特性曲线是一条直线， 传感器的静态特性为
y a1 x (2.2)
y Ox
2.1.1 传感器的静态数学模型
2.无奇次非线性项
当a3=a5=…=0时，静态特性为
yF.S. y Dymax2
O
Dymax1 x xF.S.
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
因重复性误差属随机误差，故按标准偏差
来计算重复性指标更合适，用σmax表示各校准
点标准偏差中的最大值，则重复性误差可表示
为：
ez
(2 3) max
yF.S.
100%
(2.10)
标准偏差可以根据贝塞尔公式来计算：
变量与引起此变化的输入改变量之比。常用Sn表
示灵敏度，其表达式为
Sn dy/dx
(2.6)
2.1.2 描述传感器静态特性的主要指标
对线性传感器，可表示为
Sn Dy/Dx
(2.7)