正整数, f(x) = a0xm + a1xkB 相似, Am 与 Bm 相似, AT 与 BT 相似,
f(A) 与 f(B) 相似.
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三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
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0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
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一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
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可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·
充分性 由必要性的证明可见, 如果矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量, 设它们为 p1 , p2 , · , pn , 对应的特征值分别为 1 , 2 , · , n , · · · ·
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则有
Api = i pi ,
i = 1, 2, · , n · ·
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二、相似矩阵的性质
相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系 具有下面的性质:
(1) 反身性 (2) 对称性
即一个矩阵与它自身相似; 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,
则矩阵 B 也相似于矩阵 A;
(3) 传递性
即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,
而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.
1 0 1 初等行变换 由 A E 1 0 x 1 0 1
～
1 0 1 0 0 x 1 , 0 0 0
得 x = -1 时， R(A – E) = 1 ，矩阵 A 能对角化.
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思考题
判断下面矩阵A、B是否相似？
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相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶
矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| , 因而 A 与 B 有相同的特征值，相同的行列式.
证明 只需证 A 与 B 有相同的特征多项
P,-1AP·, n) , = diag(1 2 , ·= B · 故 相似，则 1 , 2 , · , n 即是 A 的 n 个特征值. · ·
1 2 A( p1 , p2 , , pn ) ( p1 , p2 , , pn ) . n
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因而
Api = i pi , i = 1, 2, · , n , · ·
因为 P 为可逆矩阵, 所以 p1 , p2 , · , pn为线性无 · · 关的非零向量, 它们分别是矩阵 A 对应于特征值
定理 4 n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是
A 有 n 个线性无关的特征向量.
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证明 必要性
设有可逆矩阵 P , 使得
P-1AP = ,
其中 =diag ( 1 , 2 , · , n ). 将矩阵 P 按列分块, · · 令 P = ( p1 , p2 , · , pn ), 则由 P-1AP = , · · AP = P , 即 得
1 1 A 1
1 1 n 0 0 1 1 1 0 0 , B . 1 0 0 1 1
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0 1 0
2
1 x (1 )
解
A E 1 1
1 1
( 1) ( 1)
得 1 1，2 3 1
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故矩阵 A 可对角化的充要条件是对应重根
2 = 3 = 1 ，有两个线性无关的特征向量，
即方程 (A – E ) x = 0 有两个线性无关的解， 亦即系数矩阵 A – E 的秩R(A – E) = 1 .