【例 1.6】 若
1 4 3 D 0 3 5 7 6 2
则
1 0 7 D T 4 3 6 2 5 2
19
第二节
行列式的性质
性质1
T 转置行列式的值等于原行列式的值，即 D D 。
在例1.6中的二个行列式 DT , D 的值相等，即
1 4 D 0 7 3 6 1 0 7 5 DT 4 3 6 2 5 2 2 3
n 阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开 根据这一性质， 即：
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a11 A11 a21 A21 an1 An1
这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。
20
第二节
行列式的性质
性质2
交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。 交换以下行列式D的第一行和第三行，有
第二节
行列式的性质
则 D 等于下列两列行列式之和：
a11 D a21 a12 a1i a1n a11 a21 an1 i a1n a12 a1 i a2 n a22 a2 ann an 2 ani
a22 a2i a2 n
4 2 1 4 2 3k 5k k 2 3 5 6 2 7 6 2
这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式 符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。
23
第二节
行列式的性质
性质4
行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第 i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行
， 2， ，n 的余子式，它是 D 中划 M 1j 表示元素a1j jn 1 其中，
去a1j 所在的第1行和第
j
列后剩下的元素按原来的次序构成的 n 1 阶
行列式。 A1 j 1
i j
M 1 j j 1, 2,, n 称为 a1j 的代数余子式。
14
第一节
Aij 1
i j
M ij 称为元素 aij 的代数余子式。 i，j 1，2，3
11
第一节
行列式的概念
1 5 6 【例 1.3】 计算三阶行列式 D 2 0 7 8 3 4
解 由上面定义，因为
11
的值。
A11 1
所以
0 7 7 1 2 2 21 A12 1 48 3 4 8 4
行列式的概念
1 1 2 0 3 1 0 7 4 2 1 5
3 1 7
2 3 【例 1.4】 计算四阶行列式 D 1 1
解
D 2 1
11
1 0 7 3 0 7 1 2 2 4 2 1 1 1 4 2 0 1 5 1 1 5
1 4
3 1
2
主要内容
第一章 第二章 第三章
行 矩
列
式 阵
线性方程组
3
第一章
行列式
行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、 三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。 在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列 式，为此首先引入行列式的概念。
4
第一章
行列式
1
5
2 2
1 (2) 2 5 12
5 6 5 7 (2) 6 47 a31 8 的余子式 M 31 2 7
所以
a23 7 的代数余子式 A23 (1)23 M 23 M 23 12
a31 8 的余子式 A31 (1)31 M31 M 31 47
21
第二节
行列式的性质
1 4
【例 1.8】 行列式 0
2
3 5 1 4 2
0
（因为第一行与第三行相同）
以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得，在这我们省略。
22
第二节
行列式的性质
性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 k ，行 列式的值扩大 k 倍。
【例 1.9】
行列式
1 2k 7
a11 D a21 a31
其中：
a12 a22 a32
a13 a23 a33
表示，且规定： D a11 A 11 a12 A 12 a13 A 13
A11 1 M11 1
11
11
a22 a32
a23 a33
A12 列式的性质
主 要 内 容
第二节
第三节 第四节
第五节
行列式按行（列）展开 行列式的计算举例
克莱姆法则
5
第一节
行列式的概念
一、行列式的概念 为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列 式的定义。 【定义 1.1】 一阶行列式由一个数组成，记为
a11 a11
【例 1.1】
与第 j 行相同，于是行列式的值为零。 性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 i 列 的元素都是两数之和：
a11 D a21 an1
a12 a22
i ) a1n (a1i a1 i ) a2 n (a2i a2
24

) ann an 2 (ani ani
11
M 11 M 11 ，而 M11 a22 a22 ；
A12 1
1 2
M 12 M 12 a21 a21
则二阶行列式
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。
8
第一节
行列式的概念
5 6 【例 1.2】 求二阶行列式 的值。 3 2
线 性 代 数
副教授：黄振耀
1
课程简介
《线性代数》是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础 理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广 泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本 方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的 提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习 及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此 该课程历来受到各高等院校的高度重视。 根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对《线性代 数》的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂， 力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解 行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。
行列式的概念
我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。 【定义 1.5】 对于 n 阶行列式 (n 1) ，
a11
a12 a1n
a21 a22 a2n D an1 an2 ann
M ij 称为元素 aij 的余子式，Aij 1
i j
M ij 称为元素 aij 的代数
余子式 i，j 1，2， ,n 。其中，M ij 是 D 中划去元素 aij 所在的行和 列元素后，按原次序排列构成的 n 1 阶行列式。
16
第一节
行列式的概念
1 5 6 【例 1.5】 求行列式 D 2 2 7 的元素 a23 和 a31 的代数余子式。 8 3 4
解
因为 a23 7 的余子式 M 23
1 3
1 2 2 1 0 5
1 1
3 1 0 1 2 4 1 0 1
8 33 57 3 85
2
从以上定义及例子可以看到，n 阶行列式由 n 个元素构成，每 个行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余 子代数余子式再求和。 15
第一节
17
第二节
行列式的性质
在上一节行列式定义
a11 a12 a1n
n a21 a22 a2n D a11 A11 a12 A12 a1n A1n ak1 Ak1 k 1
an1 an2 ann
中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程，因此行列式的 阶数越高，计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算。
21 21,
1 1
要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。
6
第一节
行列式的概念
a11 a12 【定义 1.2】 二阶行列式是由 2 个元素排成2行2列，用 a21 a22 a11 a12 表示，且规定： a11 A11 a12 A12 a21 a22
2
其中，元素 aij 称为行列式的第 i 行第 j 列的元素
b21 a22
a11 b12 a21 b22
第二节
行列式的性质
性质6 把行列式某行（列）各元素的 k 倍加到另一行（列）的对 应元素上去，行列式值不变。即
1 时， a11 a11
，假设已定义了 n 1 阶
行列式，n 阶行列式是由
n
2
个元素排成行和列组成，记为：
a11
a12 a1n
a21 a22 a2n D an1 an2 ann
13
第一节
行列式的概念
且规定其值为：D a11 A 11 a12 A 12 a1n A 1n
Aij 1
i j
i，j 1，2 ；
M ij 称为元素 aij i，j 1，2 的代数余子式；而 M ij 是行列
式中划去第 i 行和第 j 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元 素 aij i，j 1，2 的余子式。