2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法. 3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
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思考题
设A, B分别为m 阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 0 矩阵C 是否为正定矩阵. 0 B
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思考题解答
解 C是正定的. T 因为, 设 z T ( x T , y )为m n维向量, 其中x , y分
别是m维和n维列向量, 若z 0, 则x , y不同时为零向 量, 于是
A 0 x z Cz ( x , y ) 0 B y
T T T
第七节 正定二次型
一、惯性定理
二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小结 思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
A 80 0, 根据定理13知f为负定.
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四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
x T Ax y By 0,
T
且C是实对称阵, 故C为正定矩阵.
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例如
f x 2 4 y 2 16 z 2 为正定二次型
2 2 f x1 3x2
为负定二次型
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三、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正. 证明 设可逆变换x Cy使
x f Cy ki yi2 . f
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故
ki 0i 1,, n .
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
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定理3 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正，即 a11 a1n a11 a12 0; a11 0, 0, , a21 a22 a n1 a nn 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 a11 a1r r 1 0, r 1,2, , n . a r 1 a rr 这个定理称为霍尔维茨定理．
k i 0 , i 0 ,
则 k 1 ,, k r 中正数的个数与 1 ,, r 中正数的个数
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这个定理称为惯性定理，这里不予证明。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的
正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。若二
次型 f 的正惯性指数为 p ，秩为 r，则 f 的规范形 便可确定为
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定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax ,它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 使 及 相等. 及 x Pz
2 2 f k1 y1 k 2 y 2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z 2 r z r2
2 4 5 1 2 , 解 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4 2 5 它的顺序主子式
5
2
4 5
5 0,
5 2 2 1
1 0,
2
1
2 1 0,
4 2
故上述二次型是正定的.
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例2
判别二次型 2 2 x1 , x2 , x3 2 x12 4 x2 5 x3 4 x1 x3 f
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正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
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例1 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.（补充）
f y y y y .
2 2 2 2 r 1 p p 1
科学技术上用的较多的 二次型是正惯性指数为 n 或负惯性指数为n的n元二次型，有以下定义
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二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) x T Ax , 如果对任何 x 0, 都有f x 0显然 f 0 0 , 则称f为正定二 次型, 并称对称矩阵A是正定的;如果对任何x 0 都有f ( x ) 0, 则称 f为负定二次型, 并称对称矩阵 A是负定的.
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0, 则 y C - 1 x 0, 故
i 1
n
x k i yi2 0. f
n i 1
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必要性
假设有 k s 0, 则当y e s (单.
是否正定. （补充）
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2 0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
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例3
判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.