a N 1 a N 2
r 1,
n 1
aN n
an N
n 1

r na N 收敛
n
又
aN n r aN，由比较判别法, an收敛
n 1
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2008年12月25日
(2)l 1,
an1 lim l 1, 由极限的保号性， n a n
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2008年12月25日
EX . 1. 判断级数
1 n arctan 及 ( n 1)的敛散性。 2 n n 1 n 1 n 1


2. 设正项级数 a n 收敛, 能否推得 an 2 收敛?反之
n 1 n 1
是否成立?
23
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 审敛法)
定理1.6(D'Alembert准则）
若正项级数 an(an 0)满足

an 1 an 1 lim l (或 lim ) , 则 n a n a n n
n 1
（1）当l 1时， an收敛；
n 1

(2)当l 1(或l )时, an发散；


是否成立?
解 由正项级数
2 a a 收敛，可以推得 n n 收敛, n 1 n 1
an 2 lim an 0 lim n a n n
n 1
?

2 a 由比较判别法知 n 收敛.
1 n 2 收敛, 反之不成立. 例如： n 1
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定理证毕.
推论 定理2中的条件改为： un kvn （n N，N 1,...), 结论仍成立!
比较审敛法:
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须有参考级数.
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1 例1 证明调和级数 是发散的 n 1 n
证明

x 0 ln(1 x ) x 1 1 ln(1 ) n n
1 1 而 ln(1 )发散，由比较判别法得 发散. n n 1 n 1 n

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1 例2 讨论P 级数 的敛散性. p n 1 n
解
1 1 P 0 p 0 级数 p 发散 n i 1 n

1 P 1 由例1得 发散 i 1 n
2
n dx dx n1 p p x x
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 1 (1 p1 ) 1 xp p1 n p1
即Sn有界, 则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
判别级数
n 1

1 的敛散性 n( n 1)
1 n( n 1)

1 n1 ( n 1)2
1
1 1 又 发散， 发散。 n(n 1) n 1 n 1 n 1

练习：判别级数
n 1
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1 , n 的敛散性. n( n 2 1) n1 2 n
a1 a2
1 2
a 收敛
n 1 n
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a 3 a4
3

1
f ( x )dx收敛。
4
x
f (i )
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i 1
f ( x )dx f ( i 1)
i 2,3,
,n
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证明 由图可知
a 收敛
n 1 n



1 n 1 e 1 ~ ln n n 1 n ( n 1)发散 。 又 ln n发 散
n
n 1
1 ln n n
n
n 1
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2. 设正项级数 a n 收敛, 能否推得 an 2 收敛?反之
n 1 n 1

设

a 和 b 均为正项级数，
n 1 n n 1 n


且 an b （ n n=1,2,...）
(1)若 bn收敛 an收敛.
(2)若 an发散 bn发散.
n 1
n 1
证明 (1) 设 bn
n 1
n 1

n 1
an bn , bn ,
n 1 n n 1


n
收敛;
(3) 当 时, 若
bn 发散,则 a n 发散;
n 1 n 1
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an 证明 (1) 由lim n b n
对于

2
0,
an N , 当n N时, 2 bn 2

1 1 1 0 P 1 p P发散 n n n
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n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x
y
1 ( p 1) xp
1 1 Sn 1 p p 2 3
1 p n
o
y
1 1
n
n 1

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5
1.正项级数收敛的充要条件 定理1.2

正项级数 an收敛 部分和所成的数列 { sn }有界.
n 1
到 注 正项级数发散必定发散
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6
2.比较审敛法
定理1.3(比较准则I)
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再次强调：
综合得，
1 收敛 p n 1 n 发散

p1 p1

1 等比级数 aq , p 级数 p 常作为参考级数. n 1 n 1 n
n -1

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例3 解
n 1

(3)当l 1时, an不能判定.
n 1
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证明
(1) l 1 取r 使 l r 1
an 1 lim l r , 由极限的保号性， n a n
an1 N 0,当n N 有 r an 3 a N 1 ra N , a N 2 ra N 1 r 2a , a r aN , N N 3

an 1 N 0,当n N 有 1,即an1 an an
an , an a N 0( n N ),lim an 0
n
an发散
n 1
an 1 类似地可证明：lim an发散. n a n 1 n
(3)l 1,
an 1 1 n 发散， lim lim 1 n a n n 1 n 1 n n
第4章 无穷级数
数项级数 无穷级数 函数项级数
幂级数
付氏级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
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第4章 无穷级数
第1节 第2节 第3节 第4节 常数项级数 函数项级数 幂级数 Fourier级数
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1
f ( x )dx收敛

Sn a1 a2
f (1) f (2)
a1 f ( x )dx
1 2
an
f ( n)

n n 1
y
an f ( n), n N
y f ( x)
a1 a2 a 3 a4
2
3
f ( x )dx
o
Sn a1 f ( x )dx
且 Sn a1 a2
an b1 b2
即部分和数列有界
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an收敛 .
n 1
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(2) 设 Sn (n ) 且 an bn ,
则 n Sn
bn发散.
n 1
不是有界数列
1 n 发散. n 1
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4. 柯西积分审敛法
定理1.5(积分准则)
设 an为正项级数，若连续函数f ( x ), 满足
n 1
y
(1) f ( x )在[1， ]上单调减少; (2) f ( x ) 0; (3)an f ( n), n 1, 2, ,则
o
i
y f ( x)
13
1

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3.比较审敛法的极限形式:
定理1.4 (比较准则II)

an , 设 a n 与 bn 都是正项级数, 如果 lim n b n n 1 n 1


则(1) 当 0 时, 二级数有相同的敛散性;
(2) 当 0时，若
b 收敛,则 a
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