+
x→ 0
x→ 0 2
x→ −∞
x→−∞
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内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 2. 求函数极限的方法 分式函数极限求法 1 x →x0 时, 用代入法 ) ( 要求分母不为 0 ) 注意使用条件
2) x →x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
x −1 f (0 ) = lim f (x) = lim( 3 ) =−1 x→ + 0 x→ + x +1 0 故 lim f (x) =−1 x→ 0 x2 −1 lim f (x) = xlim( 3 ) = 0 → +∞ x +1 x→ +∞ lim f (x) = lim(x −1) =−∞
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 ,
2
但因
x −5x + 4 12 −5⋅1+ 4 lim = =0 x→ 2x −3 1 2⋅1−3
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结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数 若 若 则 去公因子再求 则 求
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( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
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思考： 思考：1. 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 2.
问 是否存在 ? 为什么 ? 存在 , 矛盾 矛盾. 问 是否一定不存在 ?
3.
问 是否一定不存在 ?
答: 不一定不存在 .
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定理4 定理 . 若 lim xn = A, lim yn = B , 则有
第六节 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则
第一章
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一、 无穷小运算法则
定理1. 定理 两个无穷小的和还是无穷小 . 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 推广: 有限个 无限个无穷小之和是否仍为无穷小???
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 定理 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的水平渐近线 .
1 lim(4−3 1 +9 x2 ) x
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3x2 −2x−1 例7 求lim . 3 −x2 +5 x→ 2x ∞
解: 先用x3去除分子及分母, 然后取极限: 3− 2 − 1 3x2 −2x−1 x x2 x3 = 0 =0 . lim 3 2 = lim ∞ 5 x→ 2x −x +5 x→ 2−1 + 5 ∞ 2 x x3 2x3−x2 +5 −x 例8 求lim . 2 −2x− x→ 3 ∞ x 1 3x2 −2x−1 =0 所以 解 因 lim 为 , 3 −x2 +5 x→ 2x ∞ 2x3−x2 +5 =∞ lim 2 . x→ 3 −2x− ∞ x 1
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练习： 练习：求
( ∞− ∞型)
解: 原式
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Hale Waihona Puke 返回结束例6 . 求 解: 分子分母同除以 x , 则
2
“ 抓大头” 抓大头”
4 −31 +9 1 x x2 原式 = lim x→ 5+ 21 − 1 ∞ x x2
= x→∞ 1 lim(5+ 2 1 − x2 ) x
x→ ∞
例3 解
0 ( 型) 0
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
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又例 : 求 解：原式
0 ( 型) 0
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例4 解
∞ ( 型) ∞
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
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例5 解 先变形再求极限. 先变形再求极限
∴ 原式 =
1 = 6
6 = 6
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例10 . 求 解: 方法 1 令 u = x , 则 limu =1,
x→ 1
x −1 u −1 = =u +1 x −1 u −1
2
( ) ∴ 原式 = lim u +1 = 2
u→ 1
方法 2
(x −1 x +1 )( ) = lim x +1 ( ) = lim x→ 1 x→ 1 x −1
sin x y= x
1 lim = 0 x→ x ∞
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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二、极限运算法则
定理 3
[ 推论 1 . lim C f (x)] = Clim f (x)
[ 推论 2 . lim f (x)]n =[lim f (x)] n
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例2. 设 n 次多项式
x→x0
试证
lim P (x) = P (x0). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
例3. 设有分式函数 都是多项式 , 若 证: 试证:
其中
lim F(x) = x→x0 x→x0 lim Q(x)
x→x0
lim P(x)
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x3 − 1 例. 求 lim 2 x →2 x − 5 x + 3
a0x + a1x +L+ am lim x→ b xn +b xn−1 +L b ∞ + n 0 1
m
m−1
为非负常数 ) 非负常数
=
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求极限方法举例
例1 解
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例2 解 商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
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3) x →∞时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
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作业
P30 1 (2), (3),(8), (9),(12), 2 (2), 3, 5
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结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数 若 若 则 去公因子再求 则 求
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一般有如下结果： 一般有如下结果：
n→ ∞ n→ ∞
(1 lim(xn ± yn ) = A± B )
n→ ∞
(2) lim xn yn = AB
n→ ∞
xn A (3) 当yn ≠ 0且B ≠ 0时 lim = , n→ yn ∞ B
提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
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一般有如下结果： 一般有如下结果：
a0x + a1x +L+ am lim x→ b xn +b xn−1 +L b ∞ + n 0 1
m
m−1
为非负常数 )
=
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例9. 求
x −3 解: 令 u = 2 x −9
1 1 = limu = lim x→ 3 x→ x +3 6 3
=2
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, x −1 x < 0 2 例11. y = f (x) = x −1 3 , x ≥0 x +1 求 lim f (x), lim f (x), lim f (x).
x→ 0 x→ +∞ x→−∞
) 解: f (0− ) = lim f (x) = lim(x −1 =−1 − −
解:
x −1 23 − 1 7 x→2 lim 2 = = 2 =− 2 x →2 x − 5 x + 3 lim( x − 5 x + 3) 2 − 10 + 3 3 x→2
3
lim( x3 − 1)
思考： 思考： 若 例4.
怎么求函数极限？
(x −3)(x −1 ) x −1 = lim = lim x→ (x −3 x +3 3 )( ) x→3 x +3